2 重根号を外します(√2 + √3 はどんな数の根?)



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2 重根号

 前々回に √2 + √3 のような足し算はもうこれ以上簡単にできないと説明しましたが、それでは √2 + √3 はどのような数の根となっているのでしょう? それを確かめるために、この数を 2 乗してみます。以前に学んだ
 
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
という公式を使って計算すると
 
\[(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+2\sqrt{2}\sqrt{3}+3=5+2\sqrt{6}\]
となります。ここで x = √2 + √3 とおくと、
 
\[x^2=5+2\sqrt{6}\]
と書くことができます。つまり √2 + √3 は、この方程式の正符号の解です。
 
\[x=\sqrt{5+2\sqrt{6}}\]
 このように根号の中に、さらに根号が含まれる形を 2 重根号とよびます。 √a + √b は

\[\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}\]

というように 2 重根号で表すことができます。しかし一般にはなるべく 2 重根号のような複雑な表記は避けたいので、上式を右から左へ書き換えます。先ほどの例をもう1度見てみましょう。
 
\[x=\sqrt{5+2\sqrt{6}}\]
 目視によって、「足して 5, 掛けて 6 」になるような 2 数を見つければ、外側の根号は外せます。a = 2, b = 3 とすると a + b = 5, a b = 6 となっているので、
 
\[\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}\]
と外せるわけです。1つだけ練習しておきましょう。
 
\[\sqrt{8+2\sqrt{15}}\]
はどうなるでしょう? 足して 8, 掛けて 15 になる数を頭の中で、あるいは紙に書いて探してみると 3 と 5 という数が見つかるので、
 
\[\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{3}+\sqrt{5}\]
となりますね。

問題①

 x = √6 - √3 が満たす方程式を求め、 x を 2 重根号で表してください。

問題①の解答

 まず x を 2 乗します。
\[x^2=6-\sqrt{18}+3=9-6\sqrt{2}\] この方程式の正符号の解は
\[x=\sqrt{9-6\sqrt{2}}\]となります。

問題② 2 重根号を外してください

\((1) \: \sqrt{16+2\sqrt{55}}\)
\((2) \: \sqrt{10+2\sqrt{21}}\)

問題②の解答

\((1) \: \sqrt{16+2\sqrt{55}}=\sqrt{5}+\sqrt{11}\)
\((2) \: \sqrt{10+2\sqrt{21}}=\sqrt{3}+\sqrt{7}\)

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