2 つの未知数を含む 2 次方程式

2 つの未知数を含む 2 次方程式

　2 次方程式 x² － 2 x y + 6 x － 6 y + y² + 9 = 0 を満たす x と y の関係式を求めて、それを図示してください。

問題のヒント

　因数分解できます。解は y = f(x) の形に表せます。

解答

　x と y をひとかたまりにして因数分解できないかを考えます。そこで － 2 x y という項に着目して (x － y)² を計算してみます。

(x － y)2 = x2 － 2 x y + y2

ですから、問題で与えられた式は

(x － y)2 + 6 x － 6 y + 9 = 0

　と書くことができます。さらに少し整理して

(x － y)2 + 6 (x － y) + 9 = 0

となるので、X = x － y とおくと

X2 + 6 X + 9 = 0　⇔　(X + 3)2 = 0

となります。よって

X = －3　⇔　x － y = －3　　∴ y = x + 3

という 1 次関数が得られます。これを図示すると下図のようになります。