2 項間漸化式の基本問題

 

SQ-29 2 項間漸化式の基本問題

 $a_1=1,\ a_n=5a_{n-1}+4\quad (n\geq 2)$ を満たす数列 $\{a_n\}$ を定義します。

 (1) 一般項 $a_n$ を求めてください。
 (2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めてください。
 

SQ-29 のヒント(この定数さえなければ ...... )

 2 項間漸化式の基本問題です。
 前の項を $5$ 倍して $4$ を加えるという操作で数列
 
\[1,\ 9,\ 49,\ 249,\ 1249,\ \cdots\]
が作られます。漸化式 $a_n=5a_{n-1}+4$ の定数 $4$ がなければ、公比 $5$ の等比数列となることに着目します。
 

SQ-29 の解答

 $a_n=5a_{n-1}+4$ の両辺に $1$ を加えると
 
\[a_n+1=5a_{n-1}+5=5(a_{n-1}+1)\]
となるので、数列 $\{a_n+1\}$ は初項 $a_1+1=2$, 公比 $5$ の等比数列です。その一般項は
 
\[a_n+1=2\cdot 5^{n-1}\]
となります。よって数列 $\{a_n\}$ の一般項は
 
\[a_n=2\cdot 5^{n-1}-1\]
と表せます。これは $n=1$ のときも成立しています。

[補足] 本問では両辺に $1$ を加えるだけで漸化式を変形できましたが、一般に $a_{n}=pa_{n-1}+q$ の形の漸化式は特性方程式を使って解きます。特性方程式は SQ-30 でも扱いますが、敢えて本問で与えられた漸化式
 
\[a_n=5a_{n-1}+4\tag{A1}\]
の特性方程式をつくってみると、
 
\[x=5x+4\tag{A2}\]
となります ($x=-1$)。(A1) から (A2) を引くと、
 
\[a_n-x=5(a_{n-1}-x)\]
となって、上手く定数 $4$ を消すことができます。$x=-1$ なので
 
\[a_n+1=5(a_{n-1}+1)\]
という数列 $a_n+1$ の漸化式を得ることができます。

(2) (1) で得た一般項 $a_n=2\cdot 5^{n-1}-1$ について、$a_1$ から $a_n$ までの和をとります。
 
\[\begin{align*}S_n&=\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{n}(2\cdot 5^{k-1}-1)\\[6pt]
&=2\sum_{k=1}^{n}5^{k-1}-\sum_{k=1}^{n}1\\[6pt]
&=2\frac{5^n-1}{5-1}-n=\frac{5^n-1}{2}-n\end{align*}\]
[検算も忘れずに!] 念のために検算して、$S_1=1,\ S_2=10$ となることも確認しておいてください。
 
 

SQ-30 漸化式の特性方程式

 漸化式 $a_1=1,\ a_{n+1}=3a_n-7$ によって数列 $\{a_n\}$ を定義します。

 (1) 一般項 $a_n$ を求めてください。
 (2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めてください。
 

SQ-30 のヒント(特性方程式をつくります)

 特性方程式を使って解きます。
 

SQ-30 の解答

 与えられた漸化式
 
\[a_{n+1}=3a_n-7\tag{B1}\]
の特性方程式
 
\[x=3x-7\tag{B2}\]
をつくって、(B1) から (B2) を引くと
 
\[a_{n+1}-x=3(a_n-x)\]
となります。(B2) を解くと $\displaystyle x=\frac{7}{2}$ なので、
 
\[a_{n+1}-\frac{7}{2}=3\left(a_n-\frac{7}{2}\right)\]
という、数列 $\displaystyle \left\{a_{n}-\frac{7}{2}\right\}$ についての漸化式が得られます。

 $\displaystyle\left\{a_{n}-\frac{7}{2}\right\}$ は初項 $\displaystyle a_1-\frac{7}{2}=\frac{5}{2}$, 公比 $3$ の等比数列なので、
 
\[a_n-\frac{7}{2}=-\frac{5\cdot 3^{n-1}}{2}\]
で表されます。よって数列 $\{a_n\}$ の一般項は
 
\[a_n=-\frac{5\cdot 3^{n-1}}{2}+\frac{7}{2}\tag{B3}\]
となります。

(2) (B3) の $a_1$ から $a_n$ までの和をとると、
 
\[\begin{align*}S_n&=\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{n}\left(-\frac{5}{2}\cdot 3^{k-1}+\frac{7}{2}\right)\\[6pt]
&=-\frac{5}{2}\sum_{k=1}^{n}3^{k-1}+\frac{7}{2}\sum_{k=1}^{n}1\\[6pt]
&=-\frac{5}{2}\frac{3^n-1}{3-1}+\frac{7}{2}n=-\frac{5(3^n-1)}{4}+\frac{7}{2}n\end{align*}\]
となります。 ≫ Python のサイトもやってます!

スポンサーリンク
スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください