等式の証明(左辺を変形して右辺の形にします)

AG09 等式の証明

 次の等式を証明してください。
\[(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3\:(a-b)\:(b-c)\:(c-a)\]
【ヒント】左辺を変形して右辺の形にします が、それなりの工夫が必要です。

【解答】$(x+y)^3$ を展開すると
 
\[(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\]
となるので、
 
\[x^3+y^3=(x+y)^3-3xy\:(x+y)\]
という 3 乗和の式を得ますので、
 
\[x=a-b,\quad y=b-c\]
とおくと \(x+y=a-c\) ですから、
 
\[\begin{align*}(a-b)^3+(b-c)^3=&\:(a-c)^3-3\:(a-b)\:(b-c)\:(a-c)\\[6pt]=&\:(c-a)\:\{3\:(a-b)\:(b-c)-(c-a)^2\}\end{align*}\]
のように変形されます。よって
 
\[\begin{align*}(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=&\:(c-a)\:\{3\:(a-b)\:(b-c)-(c-a)^2\}\\[6pt]=&\:3\:(a-b)\:(b-c)\:(c-a)\end{align*}\]
となります。

AG10 高次不等式の証明

次の不等式を証明してください。
\[a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca\]
【ヒント】この種の不等式の証明の定石は平方完成ですけど、この問題でそんなことすると大変です。もっと巧みな変形方法がありますよ。等号成立条件も忘れずに!

【解答準備】こういう問題を見たときは、解答前に具体的な数値で確認しながら感覚を掴んでおきましょう。$a=b=c=1$ としてみると

左辺 = 3, 右辺 = 3

となって両辺が等しくなっています。このことから「たぶん、$a=b=c$ のときに等号が成立するんじゃないかな?」と予測が立てられます。念のために $a=b=c=2$ としても両辺は等しいことがわかります。$a = b = 1,\ c = 2$ であれば

左辺 = 6, 右辺 = 5

となって確かに (左辺) > (右辺) となっています。

【解答】左辺と右辺をそれぞれ
 
\[A=a^2+b^2+c^2,\quad B=ab+bc+ca\]
とおいて、 A - B ≧ 0 であることを示します。
 
\[A-B=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\]
 この式の形から \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) の公式が使えないかと考えます。
 そこで全体を 2 倍して 2 で割ってみると
 
\[\begin{align*}A-B=&\frac{1}{2}\:(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)\\[6pt]=&\frac{1}{2} \: \{(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\}\\[6pt]=& \frac{1}{2}\: \{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq0\}\end{align*}\]
となって $A-B\geq 0$ が証明されました。等号は \(a-b=0\) かつ \(b-c=0\) かつ \(c-a=0\) のとき、すなわち \(a-b=c\) のときに成立します。

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