exp(-ax2)xk の積分

 ガンマ関数 を用いると以下のような公式を得られます。
 以下、すべて a > 0 として

\[\begin{align*}&\int_{0}^{\infty} e^{-ax}x^ndx=\frac{n!}{a^{n+1}}\tag{1}\\[6pt]
&\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}x^{2n}dx=\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}}\sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1}}}\tag{2}\\[6pt]
&\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}x^{2n+1}dx=\frac{n!}{2a^{n+1}}\tag{3}\end{align*}\]

 (2) と (3) は同じ形の積分を x の指数部分を偶数/奇数に分けて表記したものです。
 

exp(-ax)xn の積分 Integral of exp(-ax)xn

 (1) の公式
 
\[I_n=\int_{0}^{\infty } e^{-ax}x^ndx=\frac{n!}{a^{n+1}}\tag{1}\]
を証明します。 ax = t とおくと、adx = dt より
 
\[I_n=\frac{1}{a^{n+1}}\int_{0}^{\infty } e^{-t}t^ndt\]
となります。ここでガンマ関数の定義式
 
\[\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{z-1}dt\]
と見比べると
 
\[I_n=\frac{1}{a^{n+1}} \Gamma(n+1)\]
 ガンマ関数の公式 Γ(n + 1) = n! より
 
\[I_n=\frac{n!}{a^{n+1}}\]
となって (1) が示されました。具体的には
 
\[\begin{align*}I_0=&\int_{0}^{\infty} e^{-ax}dx=\frac{1}{a}\\[6pt]
I_1=&\int_{0}^{\infty} e^{-ax}xdx=\frac{1}{a^2}\\[6pt]
I_2=&\int_{0}^{\infty} e^{-ax}x^2dx=\frac{2}{a^3}\end{align*}\]
というように計算できます。
 

exp(-ax2)x2n の積分 Integral of exp(-ax2)x2n

 続いて (2) の公式
 
\[J_n=\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}x^{2n}dx=\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}}\sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1}}}\tag{2}\]
を証明します。 ax2 = t とおくと
 
\[J_n=\frac{1}{2a^{n+1/2}}=\int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{n-1/2}dx\]
となりますが、右辺の積分は Γ(n + 1/2) なので
 
\[J_n=\Gamma \left( n+\frac{1}{2} \right)\]
となります。ここでガンマ関数の公式
 
\[\Gamma \left( n+\frac{1}{2}\right) =\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}\]
を用いると
 
\[J_n=\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}}\sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1}}}\]
となります。 n = 0, 1, 2 とおいてみると
 
\[\begin{align*}J_0=&\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\\[6pt]
J_1=&\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}x^2dx=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{\pi}{a^3}}\\[6pt]
J_2=&\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}x^{4}dx=\frac{3}{4}\sqrt{\frac{\pi}{a^5}}\\[6pt]\end{align*}\]
となります。
 

exp(-ax2)x2n+1 の積分 Integral of exp(-ax2)x2n+1

 (3) の公式
 
\[K_n=\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}x^{2n+1}dx=\frac{n!}{2a^{n+1}}\tag{3}\]
を証明します。 ax2 = t とおくと
 
\[K_n=\frac{1}{2a^{n+1}} \int_{0}^{\infty } e^{-t}t^{n}dx\]
 右辺の積分は Γ(n + 1) = n! なので
 
\[K_n=\frac{n!}{2a^{n+1}}\]
となります。 n = 0, 1, 2 とおいてみると
 
\[\begin{align*}K_0=&\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}xdx=\frac{1}{2a}\\[6pt]
K_1=&\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}x^3dx=\frac{1}{2a^2}\\[6pt]
K_2=&\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}x^5dx=\frac{1}{a^3}\end{align*}\]
のように計算できます。

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