素因数分解して約数を見つけましょう



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≫ 挑戦問題 PS-19 が入りました。

素因数分解

 全ての自然数は必ず素数の積の形に分解できます。その一般的な証明は意外と難しいので、ここでは省きますが、感覚的にはほとんど自明のことですので、具体例で見ていきましょう。 28 という数は

28 = 2 × 14 = 2 × 2 × 7

というように素数の積で表せます。このように、ある数を素数の積で表したときの、個々の素数のことを 素因数 といいます。 2 と 7 は明らかに 28 の約数であり、素因数同士の積で表される数

2 × 2 = 4, 2 × 7 = 14, 2 × 2 × 7 = 28

もまた約数です。これに加えて 1 も約数です( 1 は素数ではないことを思い出してください)。こうして 28 の約数を全て並べると、

1, 2, 4, 7, 14, 28

の 6 個となります。
 

完全数

 28 という数字を選んだのは理由があります。それは 28 が 完全数 という特別な数だからです。完全数とは「その数を除く約数の和がその数に等しい数」と定義されます。言葉で書くと頭が混乱しそうなので具体的に書いてみましょう。 28 以外の約数を全て足すと

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

となって 28 に等しくなっていますね。だから完全数です。完全数は非常に珍しい数字で、4 桁以内の完全数は

6, 28, 496, 8128

のわずかに 4 つだけです。

問題①

 6 が完全数であることを示してください。

問題①の解答

 6 の約数は 1, 2, 3, 6 ですから、6 以外の数を足し合わせると

1 + 2 + 3 = 6

となって完全数であることがわかります。

(496 が完全数であることを示すのは大変です。挑戦してみようという人は 整数問題 NT -10 完全数 へ!)
 

大きな数の素因数分解

 大きな数の素因数分解をするときは、次のように素数で次々と割っていきます。

 Excel素因数分解630

 したがって 630 は

630 = 2・32・5・7

と分解できます。しかし全ての数について、この方法が通用するわけではありません。たとえば 107677 という数字は

107677 = 29・47・79

というように素因数分解できますが、このような素因数を見つけるのはさすがに難しいでしょう。3, 5, 7, ...... と素数で割り切れるかどうか順番に試していけばいずれは分解できるかもしれませんが、ものすごく時間がかかります。なので、やはりこのような素因数分解はコンピューターの力を借りるしかないのです。

問題②

 780 を素因数分解してください。

問題②の解答

 素数で順に割っていくと次のようになります。

 Excel素因数分解780

 したがって、

780 = 22・3・5・13

というように表せます。

 ⇒ 少しだけ難しい問題に挑戦してみましょう!

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