[問題 NT-12] 整式が x - c で割り切れるような整数 a, b, c
次のように定義される x の整式
が x - c で割り切れるような正の整数 a, b, c を全て求めてください。
問題 NT-12 のヒント
5 が素数ですから、とりうる値はかなり制限されます。
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問題 NT-12 の解答
x - c で割り切れるということは、因数定理 によって f(c) = 0 が成り立つということです。
∴ c (c - a)(c - b) = 5
上の式は a, b に関して対称ですから、とりあえず勝手に a ≦ b という制限をかけておくことにします(あとで外します)。すると
という不等式が成り立ちます。右辺の 5 は素数ですから、 3 つの数の積は小さいほうから並べて
の 3 通りしかありません。それぞれの場合について a, b, c を解くと
となります。ここで a ≦ b の条件を外すと a, b について交換が可能ですから、(6, 2, 1) という組合せが加わります。以上より求める a, b, c は
となります。 ≫ [問題13] ピタゴラス方程式 ≫ 数学演習問題