［問題 NT-12] 整式が x － c で割り切れるような整数 a, b, c
次のように定義される x の整式
f(x) = x (x － a)(x － b) － 5
が x － c で割り切れるような正の整数 a, b, c を全て求めてください。
問題 NT-12 のヒント
5 が素数ですから、とりうる値はかなり制限されます。
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問題 NT-12 の解答
x － c で割り切れるということは、因数定理 によって f(c) = 0 が成り立つということです。
f(c) = c (c － a)(c － b) － 5 = 0
∴ c (c － a)(c － b) = 5
上の式は a, b に関して対称ですから、とりあえず勝手に a ≦ b という制限をかけておくことにします（あとで外します）。すると
c － b ≦ c － a ≦ c
という不等式が成り立ちます。右辺の 5 は素数ですから、 3 つの数の積は小さいほうから並べて
(c － b, c － a, c) = (－1, －1, 5), (1, 1, 5), (－5, －1, 1)
の 3 通りしかありません。それぞれの場合について a, b, c を解くと
(a, b, c) = (6, 6, 5), (4, 4, 5), (2, 6, 1)
となります。ここで a ≦ b の条件を外すと a, b について交換が可能ですから、(6, 2, 1) という組合せが加わります。以上より求める a, b, c は
(a, b, c) = (6, 6, 5), (4, 4, 5), (2, 6, 1), (6, 2, 1)
となります。 ≫ [問題13] ピタゴラス方程式 ≫ 数学演習問題
