LaTeX 不定積分と定積分

 多項式、分数関数、指数・対数関数、三角関数等の基本的な 不定積分と定積分 を載せています。重積分にしたいときは \int\iint に置き換えてください。

一般の不定積分

\int f(x)dx
\[\int f(x)dx\]

 

\iint f(x)dx
\[\iint f(x)dx\]

 

\int f(x)g(x)dx
\[\int f(x)g(x)dx\]

 

\int \frac{g(x)}{f(x)}dx
\[\int \frac{g(x)}{f(x)}dx\]

 

多項式の定積分

\int x^{n}dx
\[\int x^{n}dx\]

 

\int \left ( ax+b \right )dx
\[\int \left ( ax+b \right )dx\]

 

\int \left ( ax^2+bx+c \right )dx
\[\int \left ( ax^2+bx+c \right )dx\]

 

\int \left ( ax^3+bx^2+cx+d \right )dx
\[\int \left ( ax^3+bx^2+cx+d \right )dx\]

 

分数関数の不定積分

\int \frac{1}{ax+b}\: dx
\[\int \frac{1}{ax+b}\: dx\]

 

\int \frac{ax+b}{cx+d}\: dx
\[\int \frac{ax+b}{cx+d}\: dx\]

 

\int \frac{ax+b}{cx^2+ex+f}\: dx
\[\int \frac{ax+b}{cx^2+ex+f}\: dx\]

 

\int \frac{ax^2+bx+c}{ex^2+fx+g}\: dx
\[\int \frac{ax^2+bx+c}{ex^2+fx+g}\: dx\]

 

\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\, \mathrm{arctan}\, \frac{x}{a}+C
\[\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\, \mathrm{arctan}\, \frac{x}{a}+C\]

 

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\mathrm{log}(x+\sqrt{x^2+a^2})+C
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\mathrm{log}(x+\sqrt{x^2+a^2})+C\]

 

指数・対数関数の不定積分

\int e^xdx=e^x+C
\[\int e^xdx=e^x+C\]

 

\int a^xdx=\frac{1}{\mathrm{log}\, a}\, a^x+C
\[\int a^xdx=\frac{1}{\mathrm{log}\, a}\, a^x+C\]

 

\int \mathrm{log}x\, dx=x\, \mathrm{log}\, x-x+C
\[\int \mathrm{log}x\, dx=x\, \mathrm{log}\, x-x+C\]

 

三角関数の不定積分

\int \mathrm{cos}x\, dx=\mathrm{sin}\, x+C
\[\int \mathrm{cos}x\, dx=\mathrm{sin}\, x+C\]

 

\int \mathrm{sin}x\, dx=-\mathrm{cos}\, x+C
\[\int \mathrm{sin}x\, dx=-\mathrm{cos}\, x+C\]

 

\int \mathrm{tan}x\, dx=-\mathrm{log\, |cos}x|+C
\[\int \mathrm{tan}x\, dx=-\mathrm{log\, |cos}x|+C\]

 

一般の定積分

\int_a^b f(x)dx
\[\int_a^b f(x)dx\]

 

\iint f(x)dx
\[\iint f(x)dx\]

 

\int_a^b f(x)g(x)dx
\[\int_a^b f(x)g(x)dx\]

 

\int_a^b \frac{g(x)}{f(x)}dx
\[\int_a^b \frac{g(x)}{f(x)}dx\]

 

多項式の定積分

\int_a^b x^{n}dx
\[\int_a^b x^{n}dx\]

 

\int_a^b \left ( ax+b \right )dx
\[\int_a^b \left ( ax+b \right )dx\]

 

\int_a^b \left ( ax^2+bx+c \right )dx
\[\int_a^b \left ( ax^2+bx+c \right )dx\]

 

\int_a^b \left ( ax^3+bx^2+cx+d \right )dx
\[\int_a^b \left ( ax^3+bx^2+cx+d \right )dx\]

 

分数関数の定積分

\int_a^b \frac{1}{ax+b}\: dx
\[\int_a^b \frac{1}{ax+b}\: dx\]

 

\int_a^b \frac{ax+b}{cx+d}\: dx
\[\int_a^b \frac{ax+b}{cx+d}\: dx\]

 

\int_a^b \frac{ax+b}{cx^2+ex+f}\: dx
\[\int_a^b \frac{ax+b}{cx^2+ex+f}\: dx\]

 

\int_a^b \frac{ax^2+bx+c}{ex^2+fx+g}\: dx
\[\int_a^b \frac{ax^2+bx+c}{ex^2+fx+g}\: dx\]

 

指数・対数関数の定積分

\int_a^b e^xdx
\[\int_a^b e^xdx\]

 

\int_a^b a^xdx
\[\int_a^b a^xdx\]

 

\int_a^b \mathrm{log}x\, dx
\[\int_a^b \mathrm{log}x\, dx\]

 

\int_{0}^{\infty }e^{-x}dx=1
\[\int_{0}^{\infty }e^{-x}dx=1\]

 

\int_{0}^{\infty }e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
\[\int_{0}^{\infty }e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\]

 

三角関数の定積分

\int_a^b \mathrm{cos}x\, dx
\[\int_a^b \mathrm{cos}x\, dx\]

 

\int_a^b \mathrm{sin}x\, dx
\[\int_a^b \mathrm{sin}x\, dx\]

 

\int_a^b \mathrm{tan}x\, dx
\[\int_a^b \mathrm{tan}x\, dx\]

 

関数論(複素数解析学)

\oint_cf(x)dz=2\pi i\sum_{k=1}^{n}\mathrm{Res}f(x_k)
\[\oint_cf(x)dz=2\pi i\sum_{k=1}^{n}\mathrm{Res}f(x_k)\]

 

\oint_c\frac{1}{z-\alpha }\: dz=2\pi i
\[\oint_c\frac{1}{z-\alpha }\: dz=2\pi i\]

 

\oint_c\: (z-\alpha )^n\: dz=0 \qquad (n\neq -1)
\[\oint_c\: (z-\alpha )^n\: dz=0\qquad (n\neq -1)\]

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