sqrt(x^2+3x-1)-sqrt(x^2-x+1)の極限値

【CL03】不定形の極限値

極限 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}(\sqrt{x^2+3x-1}-\sqrt{x^2-x+1})$ を求めてください。（関西大）
 
【ヒント】不定形の極限値を求める問題です。この種の問題に対する定石があります。

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【解答】$-x=t$ とおくと、極限の式は
 \[\lim_{t\rightarrow \infty}\sqrt{t^2-3t-1}-\sqrt{t^2+t+1}\]
となります。このような問題は、極限式を敢えて
 \[\frac{\sqrt{t^2-3t-1}-\sqrt{t^2+t+1}}{1}\]
のような分数と考えて、分子を有理化して極限値を計算するとうまくいきます。
 \[\begin{align*}&\lim_{t\rightarrow \infty}(\sqrt{t^2-3t-1}-\sqrt{t^2+t+1})\\[6pt]&=\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{(\sqrt{t^2-3t-1}-\sqrt{t^2+t+1})(\sqrt{t^2-3t-1}+\sqrt{t^2+t+1})}{\sqrt{t^2-3t-1}+\sqrt{t^2+t+1}}\\[6pt]&=\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{t^2-3t-1-(t^2+t+1)}{\sqrt{t^2-3t-1}+\sqrt{t^2+t+1}}\\[6pt]&=\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{-4t-2}{\sqrt{t^2-3t-1}+\sqrt{t^2+t+1}}\\[6pt]&=\lim_{t\rightarrow \infty }\frac{-4-2/t}{\sqrt{1-3/t-1/t^2}+\sqrt{1+1/t+1/t^2}}\\[6pt]&=\frac{-4}{1+1}=-2\end{align*}\]