ゴールドバッハ予想
 2 よりも大きな偶数は二つの素数の和で表せます

 数学の未解決問題の1つに ゴールドバッハ予想 (Goldbach's conjecture) という命題があります。その内容自体は中学生にも理解できるほと簡単なものなのです。

 2 よりも大きな偶数は、二つの素数の和で表せる。

 2 より大きな偶数といえば 4 以上の偶数なので

 4 以上の偶数は、二つの素数の和で表せる。

と言い換えることもできます。ゴールドバッハさんがオイラーさんに宛てて「こんな予想してみたんだけど」という内容の手紙を送ったので、 ゴールドバッハ予想 という名前がついているのです。
 

具体的な数字で確認してみましょう

 念のために復習しておくと、素数とは 1 とそれ自身以外の数で割りきれないような

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ......

というような数のことです。 1 は素数に含まれず、また素数の中で偶数は 2 だけです。以上のことを踏まえて、小さな数字で ゴールドバッハ予想 を調べてみましょう。

    4 = 2 + 2
    6 = 3 + 3
    8 = 3 + 5
   10 = 3 + 7 = 5 + 5
   12 = 5 + 7
   14 = 3 + 11 = 7 + 7
   16 = 3 + 13 = 5 + 11

 確かにちゃんと2つの素数の足し算で表されていますね。
 ちなみに 6 以上の偶数は全て奇素数の和になっています。
 どの組合せにも素数 2 は含まれていません。理由は簡単。偶数は

偶数 = 偶数 + 偶数、偶数 = 奇数 + 奇数

の2通りでしか表せないからです。素数の中で偶数は 2 だけですから、

偶素数 = 偶素数 + 偶素数

の形で表そうと思ったら、2 を二つ足し合わせる

4 = 2 + 2

という組合せしかありません。だから他の組合せは、上で書いたように全て奇素数の和で表されることになります。

≫ [Amazon 広告] 数論の教科書
[内容:ガウスの超幾何関数/トゥエ‐ロスの定理/代数体/整基底/整イデアル/モーデルの方程式/超越数論/ジーゲル‐シドロフスキー/マーラーの手法]

 

今のところ反例は見つかっていません

 今ではコンピューターを使って 4 × 1018 という気の遠くなる桁の偶数まで調べて、どれも二つの素数の足し算で表されることを確認しています。ですからほとんどの人が「おそらくこの予想は正しいのだろう」と思っていますが、数は無限にあるので、いくら大きな数を調べようと、その次も正しいと保証されたわけではありません。どんなに大きな数も「無限大」に比べれば小さな砂粒のようなものなのです。

 実はコンピューターには「予想が正しい」ことは証明できません。
 数値計算は具体的な数をしらみつぶしに計算できますが、抽象化された偶数 2n の性質について考察することはできないのです。

 それにも関わらずこのような計算を延々と続けさせているのは「予想が正しくない」可能性を探るためです。つまりある時点で「二つの素数の足し算で表せない偶数」という反例を1つでも見つけてしまえば、「予想が正しくない」ことが証明されます。もしそうなれば、予想は廃棄され、数学者たちは「正しいことの証明」作業を中止することになります。でも、もしそんなことになれば、数学者さんたちはものすごくがっかりしてしまいます。
 

難しい問題なのです

 いずれにしろ「予想が正しい」ことを証明するのは人間の仕事です。
 しかし、いまだかつて誰もこの予想の証明に成功した人はいません。
 手紙を受け取った天才数学者ガウスに始まり、それから200年以上もの間、「ゴールドバッハ予想」は並み居る数学の巨人たちの挑戦を弾き返してきました。それぐらいに難しい問題なのです。少し専門的な言葉を使うと「ゴールドバッハ予想」は

加法的整数論 (additive number theory)

という分野に属します。要するに整数同士の足し算の性質を研究する分野なのですが、これは掛け算や約数などに比べると一般的な証明がとても難しいと言われています。しかし今この瞬間にも天才たちが現代数学の技術を駆使してこの問題を研究しているので、今日明日にも「ついにゴールドバッハ予想が証明される!」というニュースが飛び込んでくるかもしれません。いったいどんな人がこの問題を決着させるのでしょうか? とても楽しみです。 ≫ 数学よもやま話 ≫ 整数問題に挑戦!

スポンサーリンク
スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメント

  1. カズキ より:

    ゴールドバッハ予想について考えてみました。

    私の出した結論は

    偶数を2nとすると、nが6以上のとき、2nを構成する素数P(a)、P(b)の組数は

    n/2P(x)

    以上存在する。
    (P(x)^2は2n内の最大のP^2、
    nの範囲はP(x)2^+3≦n≦P(x+1)^2+1)

    ということです。

    興味がありましたらご連絡お待ちします。

    そうでなければ、お手数ですがコメント削除してください。m(_ _)m

    • カズキ より:

      間違えました、nの範囲ではなく2nの範囲です。

      • Blog Cat より:

         とても興味深い結論です。いくつかの具体的な数字で試してみましたが、確かに組合せの個数は n/2P(x) 以上あるようです。このあと、より大きな数字について成り立つかどうかをコンピュータで検証してみます。複雑な判定プログラムを作る必要があるので少し時間がかかります。しばらくお待ちください。

  2. カズキ より:

    ありがとうございます!
    すみません、正しくは

    偶数を2nとすると、nが6以上のとき、2nを構成する素数P(a)、P(b)の組数は

    n/2P(x) 以上存在する。

    (P(x)^2は2n―2内の最大のP^2、
    2nの範囲はP(x)2^+3≦2n≦P(x+1)^2+1)
    です。

  3. カズキ より:

    ちなみに
    ゴールドバッハ予想の証明です。

    http://prime-number.hateblo.jp/entry/2017/05/24/224201

    不要なら削除してください。

    • カズキ より:

      証明の最後の方の文章一部訂正致しました、申し訳ありません。

      • Blog Cat より:

        カズキさんのブログで証明を読んでいますが、

         n(1-1/2)(1-1/3)…(1-1/P(y)) - 1

        という式がどうして組数の近似を表すのかわかりません。
        オイラーの関数を使っているのですよね?
        できれば具体的な数字で説明してもらえるとありがたいです。

  4. カズキ より:

    素数定理よりと言ったほうが良かったかもしれません。

    P(x)とP(y)が等しく2nがP(1)~P(x)までの全ての素数の倍数の場合、組数は

    n が偶数の場合、n×①―1
    nが奇数の場合、(n+1)×①―1

    この部分の事だと思いますが、実際は条件通りだと2nが5か24の時しかありませんのであまり良い表現ではなかったと思いますが、言いたい事は、素数の倍数とそうでない所を分けると条件通りなら、真ん中(つまりnの所)で左右対象になっています。
    あくまでも素数も倍数に含めた場合ですが、
    nで折り曲げて重ねると素数の倍数とそうでない所は重なります。
    素数の倍数でない所は新しい素数同士のペアになっています、求め方は素数定理と同じですが1の部分はペアにならないため―1します。
    (例)2n=24、P(y)=3
    12×1/2×2/3―1
    =3
    となります。

  5. カズキ より:

    ガウスの素数定理の1/ln(n)を(1―1/2)(1―1/3)…
    として考えています。

    • Blog Cat より:

       ガウスの素数定理において

       π(x) ≒ x/lnx

      は x までに含まれる素数のおおよその個数を表します。x = 10 のときは偶然にも 4 で一致しますが、一般的には誤差があります。 x が大きくなるほどその誤差は小さくなっていきますが、x = 10 ^8 でも実際の個数と比べて 6 % ぐらいの誤差があります。この式を証明に使うのは無理ではないでしょうか。

  6. カズキ より:

    おっしゃる通り素数定理はおおよその個数を求める公式ですが、その元になる
    n(1―1/2)(1―1/3)(1―1/5)…(1―1/P(y))
    は、n個並んでいる自然数から素数の倍数を取り除いていくという意味があります。P(y)までの素数自身も取り除いてしまっているのと、P(y)までの素数でnの約数になってない素数はnを割りきれないことと、1は素数ではないが取り除いていない事が誤差の原因です。
    素数の倍数を取り除くと言うことは、素数2
    の場合、n全体を2aと2a+1に分け、2aを取り除いているため
    1―1/2となっています。他の素数も同じです。
    ゴールドバッハ予想を考えるとき、
    0から2nまでをnで折り曲げたときにnの約数になってない素数は取り除く部分が2倍になるのは、
    例えば、2nが100の場合で素数が3を考えると、
    0からnをみると3aが3の倍数ですが、
    2nからn方向だと3a―2が3の倍数になっています。
    3aと3a―2の二つを取り除くので
    1―2/3
    となります。
    素数定理と原理は同じなのでnを大きくすると誤差の比率は小さくなります。
    そして、n/2Pはnが大きくなるほど実際の数値とは差が出ます。
    組数f(n)は
    n/2P<f(n)<n/ln(n)
    の範囲で増減しながら少しずつ大きくなります。
    増減するのはP(y)までの素数がnの約数になってるかどうかで変わります、約数になってる素数が多い程組数は多くなります。
    無理なことではないと思います。

    • Blog Cat より:

       じっくり検討してみると、確かにカズキさんのおっしゃる通りであることがわかりました。私の不勉強でした。つまらない質問をして申し訳ありません。今日も証明の続きを検証していきます。

      • カズキ より:

        とんでもないです!
        ありがたいです。

        • Blog Cat より:

          P(x)とP(y)が異なる場合に、
          P(y)までの2nの約数になっていない素数のところで
          (1-1/P)が(1-2/P)になる

          という部分なのですが、
          「 P(x)までの2nの約数になっていない素数」
          ではないでしょうか?

          • カズキ より:

            P(y)より大きくP(x)以下の素数を
            P(z)とすると、
            n以下にはP(z)の取り除くべき倍数は存在しません。

            0からnまでの素数の個数の近似は
            n(1―1/2)(1―1/3)…(1―1/P(y))

            2nからn方向のnまでの素数の個数の近似は
            n(1―1/2)(1―1/3)…(1―1/P(x))

            P(y)までの素数の倍数は
            0からn、2nからnの両方にあるので
            (1―1/P)が(1―2/P)になる場合がありますが、
            P(z)の倍数は2nからn側にしか存在しないので約数になってる、なってないに関わらず(1―1/P)となります。

          • Blog Cat より:

             証明を最後まで読みました。
             私が見たところでは不備はないように思えます。
             とはいえ、やはり複数の人によるチェックが必要だと思います。
             それにはカズキさんのブログへのアクセスを増やして多くの人の目にとまるようにすることが必要だと思います。数学科の学生さんなどが目にすれば、口コミで大学の先生に噂が伝わるかもしれません。

             このブログのサイドバーにカズキさんのブログへのリンクを貼っておきます。少しはアクセスが増えると思います。あと、人気ブログランキング(もちろんカテゴリは数学にしてください)やブログサークルに参加すると少しだけアクセスが増えますので、ご検討ください。私はこれから数値計算によって反例がないかどうか、しばらくチェックを続けます。そのあと他の予想の証明も読むつもりです。

  7. カズキ より:

    ありがとうございます!
    Blog catさんからの質問を元に証明に付け足させてもらいました。

    貴重なご意見ありがとうございました。

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください