平方数の剰余問題 ある数を 2 乗したときの余りを求めます

商と余りの問題② 平方数の剰余問題

 ある数を 2 乗したときの余りはどうなるか? という問題を見かけることがあります。解法を知っていればそれほど難しい問題ではないのですが、そこには規則性があるということを知っておくだけで、問題の本質が良く見えるようになります。たとえば次のような整数

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......

を 3 で割ったときの余りを並べると

1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, ......

と極めて単純な周期が現れます。そして平方数においても、これほど単純ではないにしても、やはり周期は存在するのです。下の表は 1 から 9 までの平方数、つまり 1 から 81 までの数を整数で割ったときの余りを並べたものです。

 平方数を整数で割った時の余り表

 たとえば 1 から 81 を 3 で割ってみると、

1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0

というような周期を見ることができます。割る数が大きくなってくると周期も複雑になりますが、たとえば割る数が 3 の場合は「3 つの数の繰返しである」ということだけ覚えておいて、必要になったときは 1, 4, 9 を割って余りを書きだせば、それだけで問題が解けてしまうことがあります。さっそく例題を見てみましょう。

例題 01

 50 以下の自然数のうちで、2 乗して 4 で割ると 1 余る数はいくつありますか。

例題 01 の解答 A

 平方数 1, 4, 16, ...... を 4 で割ったときの余りは

1, 0

が繰り返されます。つまり 50 ある数のうち半分が 1 余る数なので答えは 25 個となります。

例題 01 の解答 B

 一般的には次のように解答します。
 自然数を 4 で割った余りで分類すると

4 n, 4 n + 1, 4 n + 2, 4 n + 3

となります。 4 n と 4 n + 2 は偶数なので 2 乗すると必ず 4 の倍数となります。そこで 4 n + 1 と 4 n + 3 を 2 乗してみると

  (4 n + 1)2 = 16 n2 + 8 n + 1 = 4 (4 n2 + 2 n) + 1
  (4 n + 3)2 = 16 n2 + 24 n + 9 = 4 (4 n2 + 6 n + 2) + 1

となって、いずれも 4 で割ると 1 余ります。以上より偶数を 2 乗すると 4 で割り切れ、奇数を 2 乗すると 4 で割ったときに 1 余ります。よって 50 ある数のうち半分が 1 余る数なので答えは 25 個 となります。

例題 02

 a は 3 桁の整数です。a は 23 で割り切れますが、40 では割り切れません。 a2 は 40 で割り切れます。このような条件をみたす a を求めてください。(平成 25 年度公務員試験/市役所 改)

例題 02 の解答

 a2 が 40 で割り切れるということは 2, 5, 8 でも割り切れるということです。平方数を 2, 5, 8 で割ったときの余りを書きだすと、

1, 0, 1, 0, 1, ... (mod 2)
1, 4, 4, 1, 0, ... (mod 5)
1, 4, 1, 0, 1, ... (mod 8)

 ここで mod n は「 n で割ったときの余り (n を法とする)」という意味の記号です。ここで注目すべきは、それぞれ 2, 5, 4 の周期で余りが 0 となることです。求める数の平方数を 2, 5, 8 で割ったときの余りは全て 0 となっていなければなりません。その周期は最小公倍数 20 の倍数ですから、a は 20 の倍数です。さらに問題の条件から 23 の倍数でもありますから、

a = 20・23 k = 460 k

となります。 a は 3 桁の数ですから、k は 1 か 2 です。k = 2 とすると 40 で割り切れてしまうので k = 1 。答えは a = 460 となります。

 このように「余りが 0 となる周期」に着目して、

割る数が 2, 4  周期 2
割る数が 3, 9  周期 3
割る数が 8    周期 4
割る数が 5    周期 5

 このあたりを頭に入れておくと色々なところで応用が効くと思います。

 ⇒ 演習問題に挑戦してみましょう!

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