平方して 17 で割ると 4 余る自然数

[問題 NT-33] 平方して 17 で割ると 4 余る自然数

 2 乗して 17 で割ると 4 余るような $100$ 以下の自然数は何個ありますか。
 

問題 NT-33 のヒント

 今回はヒントなし。
 

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解答 NT-33

 求める自然数を
 
\[n=17k+r\:(k=0,\:1,\:2,\:\cdots)\]
とおいて 2 乗すると
 
\[n^2=(17k)^2+2\cdot 17kr+r^2=17(17k^2+2kr)+r^2\]
となるので、$n^2$ を $17$ で割ると $r^2$ が余ります。題意より
 
\[r^2=4\quad\therefore r=\pm 2\]
となるので、
 
\[n=17k+2,\quad 17k-2\]
とおくと、
 
\[\begin{align*}1&\leq 17k+2\leq 100\\[6pt]
0&\leq 17k\leq 98\\[6pt]
0&\leq k\leq 5\end{align*}\]
より $17k+2$ 型の自然数は $6$ 個あります。また、
 
\[\begin{align*}1&\leq 17k-2\leq 100\\[6pt]
3&\leq 17k\leq 102\\[6pt]
1&\leq k\leq 6\end{align*}\]
より $17k-2$ 型の自然数は $5$ 個です。したがって求める個数は全部で $11$ 個あります。
 

別解 NT-33

 合同式を用いる方法です。
 求める自然数を $n$ として $17$ で割ったときの余りを $r$ とおくと、
 
\[\begin{align*}n&\equiv r\:(\mathrm{mod}\;17)\\[6pt]
n^2&\equiv r^2\:(\mathrm{mod}\;17)\end{align*}\]
 $r^2=4$ より $r=\pm 2$。以降は同じです。 ≫ 整数論問題集

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