巨大数の末位を求めます

[問題 NT-18] 巨大数の末位を求めます

 1313 + 1513 + 1713の位を求めてください。

問題 NT-18 のヒント

 指数計算さえできれば、何の予備知識も必要ありません。
 ぜひたくさんの人に挑戦してもらいたい問題です。

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問題 NT-18 の解答

 「 1 の位を求めよ」と聞かれたら即座に「 10 で割った余りはいくつ?」と置き換えましょう。そして、たとえばある数 N を

N = 10 n + p ( 0 ≦ p ≦ 9)

のように下 1 桁だけ分離して記述してみます。すると

N2 = (10 n + p)2 = 100 n2 + 20 n p + p2

となるなので、これは 10 で割り切れます。つまり N2 を 10 で割ったときの余りは、N の末位の数の 2 乗を 10 で割ったときの余りと一致します。 N がどのような数であっても成り立ちます。たとえば

56842 = (5680 + 4)2 = [10 の倍数] + 42

という形に必ず書くことができます。この例では末位の数は 6 となります。ですから、

P = 1313 + 1513 + 1713

という式において各項の下 1 桁だけに着目すればいいのです。まず 1 項目について、

32 = 9, 34 = 81

となるので、

134 の末位の数 = 1

 この数字を何乗しても末位は 1 ですから、

(134)3 の末位の数 = 1312の末位の数 = 1

というところまでわかります。あとは半端に残っている 13 をかけて、

1313 の末位の数 = 3

となりますね。 2 項目については特に考える必要はありません。15 は何乗しても末位の数は 5 です。 3 項目については、

72 = 49

ですから、先ほどと同じようにして

 74 の末位の数 = 1

 (74)3 = 712 の末位の数 = 1

 7 × 712 = 713 の末位の数 = 7

 最後に 3 項の末位の数を全て足し合わせて、

3 + 5 + 7 = 15

となりますから、1 は繰り上げて答えは 5 となります。

別解 合同式で解きます

 実はこの問題、初等整数論の「合同式」を使うとすぐに解けてしまうのです。合同式を知っている人のためにスマートな解法を載せておきます。考え方自体は上の解法と全く同じです。

 13 ≡ 3 (mod 10)

 132 ≡ 9 (mod 10)

 134 ≡ 81 ≡ 1 (mod 10)

 1312 ≡ 1 (mod 10)

 1313 ≡ 3 (mod 10)

 15 については何乗しても末位の数は 5 です。

 17 ≡ 7 (mod 10)

 172 ≡ 49 ≡ 9 (mod 10)

 174 ≡ 81 ≡ 1 (mod 10)

 1712 ≡ 1 (mod 10)

 1713 ≡ 7 (mod 10)

 以上より、末位の数を全部足すと

3 + 5 + 7 = 15

なので 1 を繰り上げて答えは 5 となります。

 ≫ [問題19] 割り切れたり、割り切れなかったり ≫ 数学演習問題

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