【CL16】２本の接線とx軸で囲まれる三角形の面積の最大値
曲線 $y=1/|x|$ の２本の接線および $x$ 軸とで囲まれる三角形の面積の最大値を求めてください。（東工大）
【ヒント】面積は二変数で表されますが、そういう場合に使える定石があります。
新品価格 |  |
【解答】とりあえず絶対値を外して $1/|x|$ を２つの関数
\[f(x)=\frac{1}{x}\quad(x\gt 0),\quad g(x)=-\frac{1}{x}\quad(x\lt 0)\]
に分けてしまいましょう。それぞれ微分すると
\[f'(x)=-\frac{1}{x^2},\quad g'(x)=\frac{1}{x^2}\]
なので、$y = f(x)$ 上の点 $(s, 1/s) (s\gt 0)$ における接線の方程式は
\[y-\frac{1}{s}=-\frac{1}{s^2}\:(x-s)\]
と書くことができます。整理すると
\[s^2y=-x+2s \tag{1}\]
となります。同様に $y = g(x)$ 上の点 $(－t, 1/t) (t\gt 0)$ における接線の方程式（ $t$ を正に設定するのがポイントです）は
\[t^2y=x+2t\tag{2}\]
です。式 (1), (2) で $y=0$ とおいて、$x$ 軸との交点
\[(0,\:2s),\quad (0,\:-2t)\]
を得ます。また (1) + (2) から $x$ を消去して
\[y=2\frac{s+t}{s^2+t^2}\]
となり、これが三角形の高さとなります。以上を図示すると次のようになっています。
求める面積は
\[S=\frac{1}{2}\:(2s+2t)\:2\frac{s+t}{s^2+t^2}=2\frac{(s+t)^2}{s^2+t^2}\]
となります。分子を展開してみると
\[S=1+\frac{2st}{s^2+t^2}\]
です。これは $s$ と $t$ の二変数関数なので少し厄介に思えますが、相加・相乗平均の関係が使えないかと考えてみます。$s, t \gt 0$ なので
\[st=\sqrt{s^2t^2}\leq\frac{s^2+t^2}{2}\]
がいえます。等号成立は $s=t$ のときです。よって
\[\frac{2st}{s^2+t^2}\leq 1\]
が成り立つので、
\[S\leq 2(1+1)=4\]
となり、最大値は等号が成立する $4$ となります。
エクセルや数学に関するコメントをお寄せください
今回の問題をAIに解かせてみました。
[GPT-3.5] 与えられた関数 \(f(x) = \frac{1}{|x|}\) は、\(x = 0\)で不連続です。このため、三角形の領域を考える前に、\(x = 0\)での接線を考慮する必要があります。まず、\(x = 0\)での接線を求めましょう。関数 \(f(x)\) の導関数を計算します。
\[f(x) = \frac{1}{|x|}\]この関数は絶対値を含むため、\(x \neq 0\)の場合と、\(x = 0\)の場合で導関数を分けて考える必要があります。
1. \(x > 0\)の場合：
\[f'(x) = -\frac{1}{x^2}\]
2. \(x < 0\)の場合： \[f'(x) = \frac{1}{x^2}\] 3. \(x = 0\)の場合： \(f(x)\) は不連続なので、ここで接線を考える必要があります。左側からの接線と右側からの接線を求めます。 左側からの接線： \[\lim_{{h \to 0^-}} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{\frac{1}{|h|} - \frac{1}{|0|}}{h} = -\infty\] 右側からの接線： \[\lim_{{h \to 0^+}} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{\frac{1}{|h|} - \frac{1}{|0|}}{h} = \infty\] したがって、\(x = 0\)での接線は存在しません。 次に、\(x > 0\)と\(x < 0\)での接線を求めます。接線の傾きが導関数に等しいことから、 1. \(x > 0\)の場合：
\[f'(x) = -\frac{1}{x^2} = \text{傾き}\]
2. \(x < 0\)の場合： \[f'(x) = \frac{1}{x^2} = \text{傾き}\] この傾きを用いて各点での接線の方程式を立て、その後三角形の面積を求めることができます。三角形の面積は底辺と高さを用いて \(A = \frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}\) で計算できます。接線が \(x\) 軸と交わる点が底辺になります。 このアプローチを具体的に計算するには、具体的な範囲や条件を指定してください。