平方数になるような除数を求めます

平方数になるような除数 m は？

　N = 54000 / m が平方数となるような自然数 m は何通りありますか。
　またそのときの最大の N を求めてください。
　

問題のヒント

　もちろん素因数分解するのです。

解答

　54000 を素因数分解すると

54000 = 24 × 33 × 53

となります。ここで N を

N = 54000 / m = 2a × 3b × 5c

とおくと、 N が平方数となるためには

a = (0, 2, 4),　b = (0, 2),　c = (0, 2)

とならなくてはなりません。そこで除数 m を

m = 2p × 3q × 5r

とおくと、

p = (0, 2, 4),　q =(1, 3),　r = (1, 3)

とならなくてはいけませんから、その組合せは

3 × 2 × 2 = 12 通り

です。また p = 0, q = 1, r = 1 のとき N は最大となり、その値は

N の最大値 = 54000 / 15 = 3600

となります。