無理関数と対数関数



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≫ 挑戦問題 PS-19 が入りました。

今回扱うのは 0 < x で定義された
 
\[f(x)=\sqrt{x}-logx \tag{1}\]
という関数です。グラフを描いてみると......

 sqrtx-logx

 この図から √x は常に logx より大きな値をとる関数であることがわかります。 x = 4 で f(4) = 0.613 の極値をとり、その点を境にして f(x) は減少から増加へと転じていますね。念のために f(x) を微分して調べてみましょう:
 
\[f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x}\left ( \frac{\sqrt{x}}{2}-1 \right )\]
 したがって f'(x) = 0 とおけば、x = 4 で極値をとることが確認できます。
 さて、この関数に三角関数を掛けた関数
 
\[f(x)=(\sqrt{x}-logx)\; sin\pi x\tag{2}\]
を作ってみると ......

 [sqrtx-logx]sinpix

 このように振幅がいったん減少して再び増加に転じる周期関数ができます。
 次は (1) の全体に√x を乗じた関数、すなわち
 
\[f(x)=x-\sqrt{x}\; logx\tag{3}\]
を考えてみます。かなり特徴のあるグラフです:

 x-sqrtxlogx

 原点付近からほぼ垂直に立ち上がって、そのあと x = 2 のあたりまでほとんど値が増加しない平坦な部分があります。この領域は x と √xlogx がつり合いがとれていて、差し引きがほぼ 0 であるということです。そのあとは x のほうが勝って1次関数へと近づいてゆくことになります。B 図は (3) を微分したグラフです。区間 [1, 2] のあたりで増加率が非常に小さいことが確認できます。

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