矩形波を描きます



≫『大学への数学』最新号
≫ 挑戦問題 PS-19 が入りました。

f(x) = [cos2mx - sin2mx]/[cos2mx + sin2mx]

 今回扱うのは
 
\[f(x)=\frac{cos^{\, 2m}x-sin^{\, 2m}x}{cos^{\, 2m}x+sin^{\, 2m}x}\]
という関数です。 m を変化させてグラフを描いてみます。

 ExcelGraph矩形波
 m = 1 は f(x) = cosx + sinx ですから普通の三角関数です。
 以降、m の増加に伴って波の山や谷の部分が平らになっていき、矩形(長方形)の波に近づいていますね。 m = 20 とすると ......

 [ExcelGraph]矩形波m20

 ほぼ完全に矩形波となっています。
 三角関数の組合せだけでこのような波ができるとは驚きですね。
 

g(x) = cosx [cos2mx - sin2mx]/[cos2mx + sin2mx]

 先ほどの関数に cosx を掛けて 
 
\[g(x)=\frac{cosx\, (cos^{\, 2m}x-sin^{\, 2m}x)}{cos^{\, 2m}x+sin^{\, 2m}x}\]
とすると、また奇妙なグラフが描き出されます:

 ExcelGraph矩形波×cosx
 帽子のような大きな波と三角形らしき小さな波が交互に現れる周期関数です。
 m が大きくなるほどの小さな波の角が鋭くなっていますね。 m = 20 とすると

 [ExcelGraph]矩形波cosxm20

 小さな波の丸みがとれて、ほぼ三角形となっています。

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