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ルジャンドル予想

数学未解決問題コーナーです。今回はルジャンドル予想(Legendre’s conjecture)を紹介しますが、そのまえにまず素数砂漠について簡単に触れておきます。

素数砂漠

自然数を並べて、その中にどのくらいの素数があるのかという問題は、最先端の数学でも解き明かせていません。あるところに素数がぱらぱらと現れているかと思うと、素数がずーっと存在しない区間があったりもします。たとえば 114 から 126 の数は 13 連続で合成数です。

このような素数の存在しない「素数砂漠」の長さに限りがないことは簡単に証明できます。たとえば n≧2 の連続する n−1 個の自然数
 
 n!+2, n!+3, …, n!+n
 
を考えてみます。 n! = n・(n-1) ・・・ 3・2・1 ですから、それそれ 2, 3, …, n で必ず割り切れます。つまり合成数です。この n は任意ですから、いくらでも大きい数を当てはめることができます。つまり、いくらでも大きな「素数砂漠」があるということです。

ルジャンドル予想

そうは言っても「この中には必ず1つは素数がある」という区間の長さを知りたいと願うのは人情(?)というものですよね。フランスの数学者アドリアン=マリ・ルジャンドルは
 
n2 と (n+1)2 の間には必ず素数が存在する!
 
と予想しました。これがルジャンドル予想(Legendre’s conjecture)です。もうちょっと簡単に言い換えると、
 
2 つの平方数の間には必ず素数が存在する!
 
ということですね。小さい数で試してみましょう。
 
 区間 [1, 4]:2, 3
 区間 [4, 9]:5, 7
 区間 [9, 16]:11, 13
 区間 [16, 25]:17, 19, 23
 
うーむ、なるほど。1 つどころか 2 つも 3 つもありますよ。確かに、この予想は正しそうですね(← まだちょっとしか調べてないのに適当なことを言っている)。114 から 126 は素数砂漠だと言いましたけど、矛盾していないか調べてみましょう。区間 [100, 121] には
 
 101, 103, 107, 109, 113
 
と 4 つも素数が存在しています。また [121, 169] にも
 
 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163
 
と 8 個も素数が並んでいて、ルジャンドル予想に一致していますが、[114, 126] は [100, 121] と [121, 169] にまたがる区間です。ここには素数が存在していませんが、予想と矛盾しているわけではありません。いずれにしても、この予想についての反例は 1 つも見つかっていないので、「おそらく正しいのだろう」と思われているのです。

エクセルや数学に関するコメントをお寄せください

  1. あとりえこばと より:

    【AI連載小説】数学のリズム、エクセルの旋律(42)
    「数学者ルジャンドルの業績をまとめます」
     
    研伸と月子は大学の課題で、数学者ルジャンドルについてのプレゼンテーションをまとめる作業に迫られていました。二人は図書館の一室で、資料や本を取り出しながら必死に情報を収集していました。

    研伸:「月子、これがルジャンドルの主要な業績をまとめた論文だ」
    月子:「ありがとう、研伸。これからしっかりとまとめないといけないね」

    研伸と月子は大量の論文や書籍を駆使しながら、数学者ルジャンドルに関する情報を収集していきます。ルジャンドルの生涯、主な業績、寄与した分野など、さまざまな側面を理解しようとしていました。

    研伸:「ルジャンドルは数学の多くの分野に影響を与えたし、特に数論や解析学においては重要な業績を残している」
    月子:「そうだね。彼の寄与は広範囲にわたっているから、重要なポイントを押さえてまとめるのが大変だけど、頑張ろう」

    時間が経つにつれ、研伸と月子はルジャンドルの業績について深く理解し、その重要性を感じていました。

    研伸:「ここは彼の生い立ちや個人的なエピソードも入れておくと、プレゼンがより興味深くなりそうだね」
    月子:「ルジャンドルの人間性も伝えたいし、彼が数学者としてどのような困難に立ち向かったかも大切なポイントだよね」

    二人は文献を読み込みながら、ルジャンドルに関する情報を整理し、プレゼンテーション資料を作り上げていくのでした。