極限操作の基本

【CL02】極限の基礎計算

次の極限値を求めてください。
\[\begin{align*}&(1)\,\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{1+x^2}\\[6pt]&(2)\,\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x}{1+x}\\[6pt]&(3)\,\lim_{x\rightarrow +\infty}\sin \frac{1}{x}\\[6pt]&(4)\,\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{e^x+1}\\[6pt]&(5)\,\lim_{x\rightarrow +\infty} \log x\\[6pt]\end{align*}\]
【ヒント】極限の計算の基本問題です。分子・分母を割って、極限値が 0 になる項を作るのがコツです。

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【解答】(1) 分子が１次で分母が二次関数ですから、直感的に極限値が $0$ になることがわかるかもしれませんが、（減点されない）解答としては丁寧に分子・分母を $x$ で割っておきましょう。
 \[\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{1+x^2}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{1/x+x}=0\]
(2) $x\rightarrow\infty$ では定数項の $1$ は無視できるので、これも直感的に $1$ になることがわかりますが、やはり解答は丁寧に分子・分母を x で割って
 \[\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x}{1+x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{1/x+1}\]
(3) $x\rightarrow\infty$ で $1/x\rightarrow 0$ なので、
 \[\lim_{x\rightarrow+\infty}\sin\frac{1}{x}=0\]
(4) 分子・分母を $e^x$ で割ります。
 \[\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^x}{e^x+1}=\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{1}{1+0}=1\]
(5) $y=\log x$ のグラフの形から明らかに
 \[\lim_{x\rightarrow+\infty} \log x=\infty\]
となります。