当サイトではアフィリエイトプログラムを利用して商品を紹介しています。

極限操作の基本

【CL02】極限の基礎計算

次の極限値を求めてください。
\[\begin{align*}&(1)\,\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{1+x^2}\\[6pt]&(2)\,\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x}{1+x}\\[6pt]&(3)\,\lim_{x\rightarrow +\infty}\sin \frac{1}{x}\\[6pt]&(4)\,\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{e^x+1}\\[6pt]&(5)\,\lim_{x\rightarrow +\infty} \log x\\[6pt]\end{align*}\]
【ヒント】極限の計算の基本問題です。分子・分母を割って、極限値が 0 になる項を作るのがコツです。

教科書だけでは足りない 大学入試攻略 確率分布と統計的な推測 改訂版 (河合塾シリーズ)

新品価格
¥999から
(2022/7/15 14:38時点)


【解答】(1) 分子が1次で分母が二次関数ですから、直感的に極限値が $0$ になることがわかるかもしれませんが、(減点されない)解答としては丁寧に分子・分母を $x$ で割っておきましょう。
 \[\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{1+x^2}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{1/x+x}=0\]
(2) $x\rightarrow\infty$ では定数項の $1$ は無視できるので、これも直感的に $1$ になることがわかりますが、やはり解答は丁寧に分子・分母を x で割って
 \[\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x}{1+x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{1/x+1}\]
(3) $x\rightarrow\infty$ で $1/x\rightarrow 0$ なので、
 \[\lim_{x\rightarrow+\infty}\sin\frac{1}{x}=0\]
(4) 分子・分母を $e^x$ で割ります。
 \[\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^x}{e^x+1}=\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{1}{1+0}=1\]
(5) $y=\log x$ のグラフの形から明らかに
 \[\lim_{x\rightarrow+\infty} \log x=\infty\]
となります。

エクセルや数学に関するコメントをお寄せください