logx/xの第n次導関数

【CL12】logx/xの第n次導関数

関数 $\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x} \:(x \gt 0)$ の第n次導関数を $f^{(n)}(x)$ とします。ただし、$\log x$ は自然対数です。
 
(1) $f^{(n)}(x)$ が定数 $a_n,\:b_n$ を用いて
\[f^{(n)}(x)=\frac{a_n+b_n\log x}{x^{n+1}}\]と表されることを示してください。
 
(2) $b_n$ を $n$ で表してください。
 
(3) $\displaystyle\frac{b_n}{a_n}\lt-\frac{1}{n}$ を証明してください。（山梨大一部改）

【ヒント】結構な難問に見えますが、微分公式と数列の基本をしっかり身につけていれば大丈夫！　(1) はもちろん数列の証明問題の定番を用います。(3) は $n$ が大きいと、$b_n$ は $a_n$ に比べて無視できるほど小さいことを証明する問題です。ただ、そのままの形では証明しにくいので、逆 … ヒントはここまで！

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【解答】(1) 数学的帰納法で証明します。求めるべき式は
 \[f^{(n)}(x)=\frac{a_n+b_n \log x}{x^{n+1}}\tag{1}\]
です。商の微分公式
 \[\left(\frac{g}{f}\right)’=\frac{g’f-gf’}{f^2}\]
を用いて f(x) を１回微分すると
 \[f^{(1)}(x)=\frac{1-\log x}{x^2}\]
となるので、$a_1=1,\quad b_1=-1$ とすれば (1) が成り立ちます。$n\geq 2$ のとき、[1] が成り立つと仮定すると $f^{(n)}(x)$ を微分して
 \[f^{(n+1)}(x)=\left\{f^{(n)}(x)\right\}’=\frac{-(n+1)a_n+b_n-(n+1)b_n\log x}{x^{n+2}}\]
となります。したがって
 \[\begin{align*}a_{n+1}=-(n+1)a_n+b_n\\[6pt]b_{n+1}=-(n+1)b_n\end{align*}\]
とおくことによって、$n+1$ のときも [1] は成り立っています。

(2) $b_{n+1}=-(n+1)b_n$ という関係があるので、$b_1$ から順に決めることができます。
 \[b_1=-1,\quad b_2=(-2)(-1),\quad b_3=(-3)(-2)(-1),\quad\cdots\cdots\]
$n$ が奇数のときは負に、偶数のときは正になっているので一般の $n$ について
 \[b_n=(-1)^nn!\]
であることがわかります。

(3) 証明したいのは $\displaystyle \frac{b_n}{a_n} \lt -\frac{1}{n}$ ですが、実際に $b_n/a_n$ という比をとってみると扱いにくいことがわかります。そこで逆数 $\displaystyle\frac{a_n}{b_n}$ をとってみることに気づくかどうか、これがこの問題の最初のポイントになります。そうすると…
 \[\frac{a_n}{b_n}=\frac{(-n)a_{n-1}+b_{n-1}}{(-n)b_{n-1}}=\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}-\frac{1}{n}\]
かなり扱いやすい式が現れました。$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}=c_n$ とおくと
 \[c_n=c_{n-1}-\frac{1}{n}\]
これならなんとかなりそうです。数列に慣れている人なら、
 \[\begin{align*}&c_2=c_1-\frac{1}{2}\\[6pt]&c_3=c_2-\frac{1}{3}\\[6pt]&\cdots\cdots\cdots\\[6pt]&c_n=c_{n-1}-\frac{1}{n}\end{align*}\]
と書き下してから全部足し合わせてみたくなるでしょう。ほとんどの場合、それで上手くいくのです。
 \[\begin{align*}&c_2+c_3+c_4+\:\cdots\:+c_n\\[6pt]&=c_1+c_2+c_3+c_4+\:\cdots\:+c_n-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\:\cdots\:-\frac{1}{n}\end{align*}\]
こうすると左辺と右辺でほとんどの項が消え去って $c_1=-1$ を入れると
 \[-c_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\:\cdots\:+\frac{1}{n}\]
という式を得ることができます。よって
 \[-c_n\lt 1+1+\:\cdots\:1=n\]
となるので、逆数をとって
 \[\frac{b_n}{a_n}<-\frac{1}{n}\] が示されました。