珍しくて貴重な数？

【NT31】珍しくて貴重な数を見つけます

$5$ 個の約数をもつ四桁の整数を求め、その約数もすべて並べてください。

【ヒント】少し奇妙に思えますが、問題の条件に当てはまる整数は本当に $1$ つしかない、とても珍しくて貴重な数です。

【解答】たとえば、ある整数 $N$ が $2$ つの異なる素数 $p,\:q$ の積になっているとします。
\[N=pq\]
このとき $N$ の約数は
\[1,\:p,\:q,\:pq\]
の計 $4$ 個です。ですから求める数は異なる $2$ つの素数の積ではないということです。また、整数 $N$ が $3$ つの異なる素数 $p,\:q,\:r$ の積
\[N=pqr\]
になっているとすれば、
\[1,\:p,\:q,\:r,\:pq,\:pr,\:qr,\:pqr\]
という $8$ 個の約数をもつことになります。一般に素因数 $p,\:q,\:r\:\cdots$ を $a,\:b,\:c,\:\cdots$ 個ずつもつ約数の個数は
\[(1+a)(1+b)(1+c)\cdots\]
であることが知られていますから、この式を使っても、$3$ つの異なる素数 $p,\:q,\:r$ で構成される数の約数の個数は
\[(1+1)(1+1)(1+1)=8\]
であることがわかります。となると、求める数は異なる $3$ 個の素数の積でもないので、たった $1$ つの素因数 $p$ しかもっていないということです。つまり
\[N=p^4\]
という形になっていて、その約数は
\[1,\:p,\:p^2,\:p^3,\:p^4\]
の合計 $5$ つということになります。$p$ に具体的な素数を入れて計算してみると、
\[5^4=625,\quad 7^4=2401,\quad 11^4=14641\]
ですから、四桁の数は $7^4=2401$ だけです。またその約数は
\[1,\:7,\:49,\:343,\:2401\]
となります。

【NT01】abc=a+b+cを満たす整数を求めます
【関連記事】1 が素数ではない理由は？
　