珍しくて貴重な数?

[NT31] 珍しくて貴重な数?

 5 個の約数をもつ 4 桁の整数を求め、その約数もすべて並べてください。

【ヒント】少し奇妙に思えますが、問題の条件に当てはまる整数は本当に 1 つしかない、珍しくて貴重な数 のです。

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解答NT31

 たとえば、ある整数 $N$ が 2 つの異なる素数 $p,\:q$ の積になっているとします。
 
\[N=pq\]
 このとき $N$ の約数は
 
\[1,\:p,\:q,\:pq\]
の計 4 個です。ですから求める数は異なる 2 つの素数の積ではないということです。また、整数 $N$ が 3 つの異なる素数 $p,\:q,\:r$ の積
 
\[N=pqr\]
になっているとすれば、
 
\[1,\:p,\:q,\:r,\:pq,\:pr,\:qr,\:pqr\]
という 8 個の約数をもつことになります。一般に素因数 $p,\:q,\:r\:\cdots$ を $a,\:b,\:c,\:\cdots$ 個ずつもつ約数の個数は
 
\[(1+a)(1+b)(1+c)\cdots\]
であることが知られていますから、この式を使っても、3 つの異なる素数 $p,\:q,\:r$ で構成される数の約数の個数は
 
\[(1+1)(1+1)(1+1)=8\]
であることがわかります。となると、求める数は異なる 3 個の素数の積でもないので、たった 1 つの素因数 $p$ しかもっていないということです。つまり
 
\[N=p^4\]
という形になっていて、その約数は
 
\[1,\:p,\:p^2,\:p^3,\:p^4\]
の合計 5 つということになります。$p$ に具体的な素数を入れて計算してみると、
 
\[5^4=625,\quad 7^4=2401,\quad 11^4=14641\]
ですから、4 桁の数は $7^4=2401$ だけです。またその約数は
 
\[1,\:7,\:49,\:343,\:2401\]
となります。

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