無限級数で表される関数

【CL10】無限級数関数のグラフ

　無限級数で定義された関数
\[f(x)=x^2+\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{x^2}{(1+x^2)^2}+\: \cdots \:+\frac{x^2}{(1+x^2)^{n-1}}+\: \cdots \]のグラフの概形を描いてください。
　
【ヒント】今回はやさしい問題です。不連続点は明示してください。
　

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【解答】$f(x)$ は公比 $1/(1+x^2)$ の等比級数ですが $x=0$ のときだけは $f(0)=0$ となるので注意が必要です。$x \neq 0$ のときは
　
\[0 \lt \frac{1}{1+x^2} \lt 1\]
なので、等比級数の和の公式を使って
　
\[f(x)=\frac{x^2}{1-1/(1+x^2)}=1+x^2\]
という二次関数となります。よってグラフは下図のようになります。

　

　x = 0 のところで不連続になっています。