文字式の掛け算と割り算

同じ数を何度も掛けます

 同じ数を掛け合わせてみます。つまり、

3 × 3 = 9, 12 × 12 = 144

のような演算です。これは以前にも説明した平方数の計算ですね。文字を使って

a × a = a2

というように数字の 2 を肩に乗せます。「 a を 2 回掛けますよ」という意味です。同じ数を 3 つ掛けるなら

a × a × a = a3

と表します。さらに掛ける回数も文字にして「 a を k 回掛ける」という式を表したいときは、

a × a × ...... × a = ak

と書きます。右辺のような書き方を 指数表示 とよびます。a2 と a3 の掛け算は、a を 2 回、そしてさらに 3 回かけるわけですから、合わせて a を 5 回掛けることになります:

 Excel指数の足し算

 肩の部分が足し算の関係になっていますね。少し練習しておきましょう。

問題① 次の式を計算してください

(1) m m2
(2) x2 x4 x6

問題①の解答

(1) m m2 = m3  ( m = m1 とみます)
(2) x2 x4 x6 = x12

問題②

 x を m 回かけて、そのあとさらに x を n 回掛ける式をどう表せますか?

問題②の解答

 x を m + n 回掛ける操作なので、

xm xn = xm + n

と表すことができます。
 

互いの関係が不明な数同士の掛け算

 互いの数の関係が不明なら a と b という別々の文字を使って

a × b = a b

と書いておくしかありません。「×」の記号を省略しただけです。足し算のときと同じように、a と b に同じ数が入る場合も含めた書き方であることに注意してください。たとえば a, b ともに正の整数(1, 2, 3, ...... )という条件をつけて

a b = 4

という方程式が与えられたとします。

a = 1, b = 4

というのが答えの 1 つではありますけど、

a = 2, b = 2

という答えも存在しています。これは前回にも少し触れた「不定方程式」の1例です。

 a を 3 回、 b を 2 回掛けるような演算をまとめて

a × a × a × b × b = a3 b2

と書くことができます。
 

括ってすっきりまとめます

 たとえば、

a b + a c + 2 a

のような式と出会ったときは分配法則にしたがって

a b + a c + 2 a = a (b + c + 2)

というように短くまとめてしまいましょう。「アルファベット順」、「文字のあとに数字」というルールを守って書くと見栄えがよくなります。

問題② 次の式をまとめてください

(1) 2 x + 2 y - z + 1
(2) a b c + b c d + b c2

問題②の解答

(1) 2 x + 2 y - z + 1 = 2 (x + y) -z + 1
(2) a b c + b c d + b c2 = bc (a + c + d)
 

文字式の割り算

 文字の割り算のときに注意しなくてはならないことが1つあります。それは「割る数(分母)は 0 であってはいけない」ということです。割る数が a や b といった文字で表すときは、

a ≠ 0 や b ≠ 0

という条件が必ずつきます。特に明示しないで計算するときもありますが、その場合も自動的にこの条件が付されていると考えてください。
 

文字で表された数を約分します

 それでは文字の割り算を見ていきましょう。 a を a で割ると、
 
\[\frac{a}{a}=1\]
となります(当たり前です)。文字を使った割り算も普通の数と同じように約分できます。たとえば 3 a を 3 で割るときは分子・分母を 3 で割って
 
\[\frac{3a}{3}=a\]
というように計算できます。3 a を a で割るときは分子・分母を a で割ります:
 
\[\frac{3a}{a}=3\]
 a5 を a2 で割るような計算は、分子・分母を a で 2 回割ってすっきりさせます:

 指数の割り算①

 肩の部分が 5 - 3 = 2 と引き算の関係になっていますね。
 同じように a2 を a4 で割ってみましょう。

 指数の割り算②

 今度は分母に a2 が残りました。
 複数の文字が混じり合った分数は、同じ文字同士を約分しておきます。
 
\[\frac{a^{2}b^{3}c}{ab}=ab^{2}c\]\[\frac{xy}{x^{2}y^{2}z}=\frac{1}{xyz}\]
 分子や分母に足し算や引き算が含まれているときも、共通の文字を探して約分します:
 
\[\frac{a^{2}+2ab}{a}=a+2b\]\[\frac{3x}{x-xyz}=\frac{3}{1-yz}\]
 

問題① 次の式を約分してください

\[(1)\; \frac{p^{2}+2pq+p}{p^{2}}\]
\[(2)\; \frac{y}{xy}+\frac{z}{yz}+\frac{x}{xz}\]

問題①の解答

\[(1)\; \frac{p^{2}+2pq+p}{p^{2}}=\frac{p+2q+1}{p}\]
\[(2)\; \frac{y}{xy}+\frac{z}{yz}+\frac{x}{xz}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\]

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