整数論問題集 Problems in Number Theory

整数論問題集

 NT-01 a b c = a + b + c の整数解
 NT-02 x2 -x y + 2 y2 = 7 の整数解
 NT-03 x3 + y3 = 72 の整数解
 NT-04 2 進数に変換します
 NT-05 包除原理を使って解きます
 NT-06 分数式が整数となる条件
 NT-07 不等式で絞り込みます
 NT-08 約数の和を求めます
 NT-09 条件に合う整数の個数を求めます
 NT-10 完全数であることを示します

 NT-11 平方して 5 の倍数となる数
 NT-12 因数定理を用います
 NT-13 ピタゴラス方程式を満たす数を探します
 NT-14 2 項係数の最大値を求めます
 NT-15 2n = n2 を解きます
 NT-16 6 個の数字を選んで 3 桁の数字を作ります
 NT-17 3 桁の数の和を求めます
 NT-18 巨大数の末位を求めます
 NT-19 割り切れたり、割り切れなかったり
 NT-20 友愛数(親和数)であることを示します

 NT-21 ブロカールの問題
 NT-22 互いに素であることの証明
 NT-23 倍数になる自然数を求めます
 NT-24 a + b, a - b, ab が互いに素であることを証明します
 NT-25 素数 p と正の整数 a, b
 NT-26 x^2+y^2=3 を満たす有理数は存在する?
 NT-27 少なくとも 2 つの偶数があります
 NT-28 条件を満たす素数 p, q を全て求めます
 NT-29 どの 2 つの和も残りの数で割ると 1 余ります
 NT-30 有理数解は整数のみです
 NT-31 5 個の約数をもつ 4 桁の整数
 NT-32 相異なる 5 個の自然数
 NT-33 平方して 17 で割ると 4 余る自然数

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[内容:二次体の整数環/ユークリッドの整域/素元/既約元/数論的関数/ヤコビの三重積公式/オイラー関数/ランベルト級数/超越数/無理測度/フェルマーの方程式/素イデアル分解/エルミート‐リンデマンの定理/ゲルフォント‐シュナイダーの定理]

 

整数論の問題を解くコツ

 整数論の問題は解法の取っ掛かりを見つけることが難しく、問題文を前にして最初の1行目すら書けないということもしばしば起こり得ます。そんなときは、いきなり解こうとせずに、与えられた条件式に具体的な数値を入れてみて、その問題が何を問おうとしているのかイメージを掴むようにしてください。たとえば、

 x 2 + x y + y 2 = 12 を満たす正の整数の組 (x, y) を全て求めてください。

というような問題があったとします。もちろんこの手の問題を解く定石はあるのですけど、まずは x, y に適当な値を放り込んでみます。
 しかし整数論では感覚的な要素も大切ですから、右辺の 12 を見て「 x, y が同時に 1 になることはさすがにありえないよね。 4 2 はそれだけで 16 になってオーバーするからこれも論外。まあ 3 あたりが上限かな」ぐらいの勘は働かせておきます。

f(x, y) = x 2 + x y + y 2

とおいて、

f(1, 2) = 7, f(2, 2) = 12, f(1, 3) = 13

と確認して「 (x, y) = (2, 2) でぴったりだね! (x, y) = (1, 3) がちょっと惜しい感じ。てことで (x, y) = (2, 2) だけが条件式を満たすと思うけど、一応ちゃんとした解答を書かないとね」とイメージを掴んでから論理的解答の作成にかかります。整数論はパズル的な要素が強いので、このような試行錯誤なスタイルで挑んだほうが楽しいと思いますよ。

 気になる人もいると思うので、正式な解答も載せておきます。
 対称式で「正の整数」という条件がついたときは、範囲を狭める決定的チャンスです。

0 < x ≦ y

という条件を勝手に作ってしまいます。「問題文にはないけれど、自分で条件を厳しくして範囲を狭める」というのは整数論における定石の1つです。とりあえず作った条件の下で解を求めてから、後で「条件を外したらどうなるか」を考えれば良いのです。上の条件がつくと、y は x 以上の値なのですから、

   12 = x 2 + x y + y 2 ≧ 3 x 2  ⇔  x 2 ≦ 4

というように x を強く束縛できます。これを満たす x は 1 と 2 しかありません。

   ① x = 1 のとき y 2 + y - 11 = 0  整数解なし

   ② x = 2 のとき y 2 + 2 y - 8 = 0  ∴ y = 2

となって (x, y) = (2, 2) が得られます。今回の問題では x, y は同じ値ですから、条件を外しても答えはこれだけです。

 ある程度問題の数が増えてくると、原始根や平方剰余など本格的な数論の概念が登場しますが、それは 2016 年 10 月以降に予定している『初等整数論講座』に歩調を合わせます。それまでは基本的に高校数学で解ける範囲の問題を扱います。

 それでは皆さん、上のメニューから問題を選んで整数問題を Enjoy してください!

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