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【VBA】バーンスレイのシダ

バーンスレイのシダ

任意の大きさの断片を切り取ったとき、図形全体の形状と相似になっているような構造をフラクタルとよびます。その代表例の1つとして、英国の数学者マイケル・バーンスレイ(Micael Barnsley)によって発見されたバーンスレイのシダ(Barnsley fern)という図形があります。

バーンスレイのシダとは、以下のような規則で人工的にシダの形状をコンピュータ上に再現するものです。

・$(x_0,\ y_0)=(0,\ 0)$ を始点に設定

・確率的に変換 A ~ D を繰り返し選択して次の座標を決定

 変換 A (確率 $0.01$)
 $x_{n+1}=0$
 $y_{n+1}=0.16y_n$

 変換 B (確率 $0.07$)
 $x_{n+1}=-0.15x_n+0.28y_n$
 $y_{n+1}=0.26x_n+0.24y_n+0.44$

 変換 C (確率 $0.07$)
 $x_{n+1}=0.2x_n-0.26y_n$
 $y_{n+1}=0.23x_n+0.22y_n+1.6$

 変換 D (確率 $0.85$)
 $x_{n+1}=0.85x_n+0.04y_n$
 $y_{n+1}=-0.04x_n+0.85y_n+1.6$

以下コードで、アクティブなワークシートの A 列と B 列に1000 点のシダの座標を作成します。

'[VBA] バーンスレイのシダ (Barnsley fern)

Option Base 0

Sub Barnsley_fern()

  Dim x() As Double
  Dim y() As Double
  Dim rd As Double
  Dim j As Long, k As Long, pt As Long

  '配列インデクスの上限値
  pt = 999

  '空の配列を生成
  ReDim x(pt), y(pt)

  '初期値の設定
  x(0) = 0
  y(0) = 0

  '乱数を初期化
  Randomize (10)

  'バーンスレイのシダをプロット
  For j = 1 To pt

    rd = Rnd()

    Select Case rd

    Case 0 To 0.01
      x(j) = 0
      y(j) = 0.16 * y(j - 1)

    Case 0.01 To 0.07
      x(j) = -0.15 * x(j - 1) + 0.28 * y(j - 1)
      y(j) = 0.26 * x(j - 1) + 0.24 * y(j - 1) + 0.44

    Case 0.07 To 0.14
      x(j) = 0.2 * x(j - 1) - 0.26 * y(j - 1)
      y(j) = 0.23 * x(j - 1) + 0.22 * y(j - 1) + 1.6

    Case Else
      x(j) = 0.85 * x(j - 1) + 0.04 * y(j - 1)
      y(j) = -0.04 * x(j - 1) + 0.85 * y(j - 1) + 1.6

    End Select

  Next j

  'データの見出しを入力
  Cells(1, 1) = "x"
  Cells(1, 2) = "y"

  'ワークシートにデータを転記
  For k = 0 To pt
    Cells(k + 2, 1) = x(k)
    Cells(k + 2, 2) = y(k)
  Next k

End Sub

Barnsley_fern() を実行すると、下図のようにシートにデータが作成されます。

Excel バーンスレイのシダ(Barnsley fern) data
[挿入]タブから散布図を作成してください(マーカーの色やサイズなどは適当に調整してください)。次のような図が表示されます。

バーンスレイのシダ(Barnsley fern) 1000pt
コードの pt を変更すると絵の密度を変えることができます。
下の図は pt = 4999 として、5000 点で描いたシダの絵です。

バーンスレイのシダ(Barnsley fern) 5000pt

エクセルや数学に関するコメントをお寄せください

  1. Blog Cat より:

    Blog Catのテストコメントです。ついでに何か数学の雑談でも書こうかと思いましたけど、特に何も思いつきませんね … これから買い物に出かけてペンネを買おうかな、もう明日でいいかなと悩んでます。

  2. あとりえこばと より:

    [ChatGPT] バーンズリーのシダとしても知られるバーンズリーのシダは、フラクタルの一種であり、1988年にマイケル・バーンズリーによって発表されました。バーンズリーのシダは、シダの葉の形状をモデル化したもので、数学的には、繰り返し構造の生成によって作成されます。バーンズリーのシダは、以下のようなアルゴリズムによって作成されます。

    最初に、シダの形を定義する4つの異なる変換が与えられます。次に、初期の点を設定し、ランダムに変換を適用して新しい点を生成します。このプロセスを何度も繰り返すことによって、シダの形が生成されます。このシダは、自然界で見られるシダの形状に非常に似ており、美しいフラクタル図形として知られています。また、バーンズリーのシダは、フラクタル幾何学の入門として広く使用されています。