曲線上に1本だけ接線を引ける座標を求めます

【CL13】ガウス関数の接線

　曲線 \(y=e^{-x^2}\) にたった１本の接線が引けるような座標 $(a,\:0)$ を求めて、曲線の概形と接線を図示してください。

【ヒント】曲線 \(y=e^{-x^2}\) には １本だけ接線が引ける 不思議な（？）点がいくつかあります。何はともあれ、まずは \(y=e^{-x^2}\) のグラフを描いてみましょう。そのときにグラフの「対称性」に着目すると作業が楽になります。変曲点も忘れずに。今回はやさしい問題です。
　

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【解答】曲線 \(f(x)=e^{-x^2}\) は偶関数ですから $y$ 軸に関して対称です。よって $x\geq 0$ だけ考えれば充分です。まず $y=f(x)$ の基本的な情報として $f(0) = 1$ 、$x\rightarrow\infty$ において $f(x)\rightarrow 0$ はすぐにわかります。さらに１階微分と２階微分を計算すると
　
\[y’=-2xe^{-x^2},\quad y^{\prime\prime}=(4x^2-2)e^{-x^2}\]
　したがって、$y^{\prime}=0$ となる点（極値）は $x = 0,\ y^{\prime\prime}=0$ となる点（変曲点）は
　
\[x= \pm \sqrt{2}/2\]
となります。増減表は次のようになります。

　

　今度は接線を求めます。曲線上の点 \((t,\:e^{-t^2})\) を通る接線の方程式は
　
\[y-e^{-t^2}=-2te^{-t^2}(x-t)\]
と書けます。この直線が \((a,\:0)\) を通るので、
　
\[-e^{-t^2}=-2t-e^{-t^2}(a-t)\]
　指数部分は正ですから落としてしまって整理すると
　
\[2t^2-2at+1=0\]
という２次方程式を得られます。接線が１本ということは、この方程式が１つの解をもつということなので、判別式が 0 になるということです。
　
\[D/4=a^2-2=0\]
　よって \(a= \pm \sqrt{2}\) と定まります。接点の座標は \((-\sqrt{2},\:e^{-1/2})\) および \((\sqrt{2},\:e^{-1/2})\) です。つまり \((\pm \sqrt{2},\:0)\) の２点から引ける接線は１本であり、接点は変曲点に一致します。

　ちなみに判別式から \(a \lt -\sqrt{2},\:0 \gt \sqrt{2}\) においては２本の接線が引けること、また \(-\sqrt{2} \gt a \lt \sqrt{2}\) においては１本の接線も引けないことがわかります。以上のことを図示すると次のようになります。