偏微分(偏導関数と 2 階偏導関数)

 

偏導関数 Partial derivatives

 関数 $z=f(x,y)$ において、$y$ を固定して $x$ のみを動かしたときに
 
\[\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\]
が存在するならば、$f(x,y)$ は変数 $x$ で 偏微分可能である といい、
 
\[\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\]
という記号で表します。同様に $x$ を固定して $y$ を動かしたときに
 
\[\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}\]
が存在するならば、$f(x,y)$ は変数 $y$ で 偏微分可能である といい、
 
\[\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\]
という記号で表します。

\[\begin{align*}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\\[6pt]
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}&=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}\end{align*}\]

 $\partial f/\partial x,\:\partial f/\partial y$ のことを 偏導関数 (Partial derivatives) とよびます。
 それぞれ簡略して $f_x,\:f_y$ と書くこともあります。

偏微分の幾何学的意味

 2 変数の三角関数 $f(x,y)=\sin xy$ を例に、偏微分の幾何学的イメージを掴んでみます。

 Excel3Dグラフz=sinxy

 $f(x,y)=\sin xy$ は中心から四方に波が広がっていく関数です。
 $y$ を固定するということは、$x-z$ 平面に平行な面で曲面を切り取るということです。その断面図が $g(x)=\sin xy$ であり ( $y$ は定数とみているので 1 変数の関数です) 、これを $x$ で微分することによって $x$ 軸方向の変化率を調べることができるのです。具体的な計算は合成関数の微分公式を使って
 
\[g'(x)=f_x=y\cos xy\]
となります。$y$ の絶対値の大きいところでは、その周期が短くなります。

距離を表す関数の偏微分

 理工学でよく現れるのは平面上の距離を表す関数
 
\[r(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\]
の偏微分です。これは少しテクニックを使います。まず両辺を平方して
 
\[r^2=x^2+y^2\]
 それから両辺を $x$ で偏微分すると
 
\[2r\frac{\partial r}{\partial x}=2x\]
となるので、
 
\[\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\]
というように偏導関数が求められます。$y$ についての偏微分も同様にして
 
\[\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\]
となります。3 次元空間上の距離 $r(x,y,z)$ についても同じような形になるので、ぜひ試してみてください。
 

2 階偏導関数 Second partial deivatives

 1 変数のときと同様に、2 変数関数についても高階(高次)導関数を定義することができます。1 階偏微分 $f_x,\:f_y$ それぞれに対して 2 種類の偏導関数が存在するので、2 階偏導関数は合わせて 4 種類あります。

\[\begin{align*}
f_{xx}&=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) =\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\\[6pt]
f_{xy}&=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) =\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\\[6pt]
f_{xy}&=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\\[6pt]
f_{yx}&=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}
\end{align*}\]

2 階偏微分の計算例

 $f(x,y)=x^3+2x^2y^2+2y^2$ の 2 階偏導関数を求めてみます。
 
\[f_x=3x^2+4xy^2,\quad f_y=4x^2y+4y\]
なので、
 
\[\begin{align*}f_{xx}&=6x+4y^2,\quad f_{xy}=8xy\\[6pt]
f_{yy}&=4x^2+4,\quad f_{yx}=8xy\end{align*}\]
となります。$f_{xy}$ と $f_{yx}$ が一致しているのは偶然ではなく、一般に $f_{xy}$ と $f_{yx}$ がともに連続ならば、偏微分の順序を変えても偏導関数が変わらないことが知られています。

≫ 数学辞典 

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