LaTeX 多項展開

 2 項定理の公式および、 (a + b)n, (x + y)n, (1 + x)n について n = 2 から 5 まで載せています。またいくつか代表的な多項展開式も後ろのほうにあります。

2 項定理

(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_k\:a^{k}\:b^{\:n-k}
\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm{C}_k\:a^{k}\:b^{\:n-k}\]

 

(a+b)^n=\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}a^{\:n-r}\:b^{\:r}
\[(a+b)^n=\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}a^{\:n-r}\:b^{\:r}\]

  

2 項展開 \((a+b)^n\)

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

 

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]

 

(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4
\[(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\]

 

(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
\[(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\]

 

2 項展開 \((x+y)^n\)

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
\[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2\]

 

(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3
\[(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\]

 

(x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4
\[(x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4\]

 

(x+y)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5
\[(x+y)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5\]

 

2 項展開 \((1+x)^n\)

(1+x)^2=1+2x+x^2
\[(1+x)^2=1+2x+x^2\]

 

(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3
\[(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3\]

 

(1+x)^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4
\[(1+x)^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4\]

 

(1+x)^5=1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5
\[(1+x)^5=1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5\]

 

 (1+x)^{n}=\: _{n}C_{1}x^{1}+\: _{n}C_{2}x^{2}+\: \cdots \cdots \: +\: _{n}C_{n}\: x^{n}
\[(1+x)^{n}=\: _{n}C_{1}x^{1}+\: _{n}C_{2}x^{2}+\: \cdots \cdots \: +\: _{n}C_{n}\: x^{n}\]

 

2 項展開 \((a-b)^n\)

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

 

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
\[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\]

 

(a-b)^4=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4
\[(a-b)^4=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4\]

 

(a-b)^5=a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5
\[(a-b)^5=a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5\]

 

2 項展開 \((x-y)^n\)

(x-y)^2=x^2-2xy+y^2
\[(x-y)^2=x^2-2xy+y^2\]

 

(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3
\[(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3\]

 

(x-y)^4=x^4-4x^3y+6x^2y^2-4xy^3+y^4
\[(x-y)^4=x^4-4x^3y+6x^2y^2-4xy^3+y^4\]

 

(x-y)^5=x^5-5x^4y+10x^3y^2-10x^2y^3+5xy^4-y^5
\[(x-y)^5=x^5-5x^4y+10x^3y^2-10x^2y^3+5xy^4-y^5\]

 

2 項展開 \((1-x)^n\)

(1-x)^2=1-2x+x^2
\[(1-x)^2=1-2x+x^2\]

 

(1-x)^3=1-3x+3x^2-x^3
\[(1-x)^3=1-3x+3x^2-x^3\]

 

(1-x)^4=1-4x+6x^2-4x^3+x^4
\[(1-x)^4=1-4x+6x^2-4x^3+x^4\]

 

(1-x)^5=1-5x+10x^2-10x^3+5x^4-x^5
\[(1-x)^5=1-5x+10x^2-10x^3+5x^4-x^5\]

 

多項展開

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac
\[(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\]

 

(x+y+x)^2=x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz
\[(x+y+x)^2=x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\]

 

(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3xy(x+y)+3yz(y+z)+3zx(z+x)+6xyz
\[(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3xy(x+y)+3yz(y+z)+3zx(z+x)+6xyz\]

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