式の形を予想して「たすきがけ」に持ち込みます

　センター試験問題から１部抜粋しています。

演習問題　式の形を予想します

　次の２次式
\[A=6x^2+5xy+y^2+2x-y-20\]を１次式の積に因数分解してください。

演習問題のヒント

　因数分解した形を予想して「たすきがけ」に持ち込みます。
　ある項に着目すると簡単に予測できます。

演習問題の解答

　y² の係数が 1 であることに着目すると、２次式 A は
　
\[A=6x^2+5xy+y^2+2x-y-20=(ax+y+b)(cx+y+d)\]
という形に因数分解されると予想できます。すると右辺を展開したときに、x² の係数、末尾の定数項、および x の係数は
　
\[ac=6,\quad bd=-20,\quad ad+bc=2\]
となることがわかります。つまり a, b, c, d の関係はたすきがけと同じになっていますから、これを解いて
　
\[a=3,\quad b=-5,\quad c=6,\quad d=4\]
と決まります。しがたって２次式 A は
　
\[A=6x^2+5xy+y^2+2x-y-20=(3x+y-5)(2x+y+4)\]
のように因数分解できます。