式の形を予想して「たすきがけ」に持ち込みます

 センター試験問題から1部抜粋しています。

演習問題 式の形を予想します

 次の2次式
\[A=6x^2+5xy+y^2+2x-y-20\]を1次式の積に因数分解してください。

演習問題のヒント

 因数分解した形を予想して「たすきがけ」に持ち込みます。
 ある項に着目すると簡単に予測できます。

演習問題の解答

 y2 の係数が 1 であることに着目すると、2次式 A は
 
\[A=6x^2+5xy+y^2+2x-y-20=(ax+y+b)(cx+y+d)\]
という形に因数分解されると予想できます。すると右辺を展開したときに、x2 の係数、末尾の定数項、および x の係数は
 
\[ac=6,\quad bd=-20,\quad ad+bc=2\]
となることがわかります。つまり a, b, c, d の関係はたすきがけと同じになっていますから、これを解いて
 
\[a=3,\quad b=-5,\quad c=6,\quad d=4\]
と決まります。しがたって2次式 A は
 
\[A=6x^2+5xy+y^2+2x-y-20=(3x+y-5)(2x+y+4)\]
のように因数分解できます。

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