ピタゴラス数の一般解(直角三角形の斜辺と他の2辺の関係)

 直角三角形とピタゴラス数の図図のような直角三角形について、斜辺 c の長さは他の2辺 a と b を用いて
 
\[a^2+b^2=c^2\]
と書くことができます(ピタゴラスの定理)。 a, b, c が全て自然数であるとき、その数字の組を ピタゴラス数 とよびます。その組合せは無数にあり、たとえば (3, 4, 5) は上の方程式を満たす最小のピタゴラス数であることが知られています。
 

ピタゴラス数の一般解

 ピタゴラス数の一般的な表式を求めてみましょう。斜辺と底辺のなす角度をθ(今は直角三角形を考えているので、0 < θ < π/2)とします。ここで
 
\[\tan \frac{\theta}{2}=t \quad (0 \lt t \lt 1)\]
という変数 t を導入すると
 
\[\tan \theta=\frac{2\tan (\theta/2)}{1-\tan^2(\theta/2)}=\frac{2t}{1-t^2}=\frac{b}{a}\]
となりますから、
 
\[\begin{align*}&\cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}=\left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right)^2\\[8pt]
&\cos \theta=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{a}{c}\\[8pt]
&\sin \theta=\cos \theta \tan \theta =\frac{2t}{1+t^2}=\frac{b}{c}\end{align*}\]
 ここで a, b, c を
 
\[a=1-t^2,\quad b=2t,\quad c=1+t^2\]
とおくと、
 
\[(1-t^2)^2+(2t)^2=(1+t^2)^2\]
という t についての方程式が得られますが、0 < t < 1 なので、改めて N = 1/t (> 2) という自然数に変更すると
 
\[(N^2-1)^2+(2N)^2=(N^2+1)^2\]
という方程式を得ることができて、ピタゴラス数
 
\[(a,\: b,\: c)=(N^2-1,\: 2N,\: N^2+1)\]
が定まります。

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