実係数のフーリエ級数展開

 

複素係数を実係数に書き換えます

 周期 $2L$ の関数 $f(x)$ は
 
\[\begin{align*}f(x)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\exp\left(\frac{in\pi x}{L}\right)\\[6pt]
c_n&=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\exp\left(\frac{-in\pi x}{L}\right)\end{align*}\]
フーリエ級数展開 できます。展開式の右辺に複素数が含まれていますが、もし左辺が実関数であるならば、展開式の右辺も虚数部分同士がキャンセルしあって実関数となっているはずです。そこで $f(x)$ が実関数のときに成り立つ
 
\[c_{-n}=c_n^*\]
という関係を用いて、右辺を実数のみで表してみます。展開式から係数が $c_n$ と $c_{-n}$ である項だけ抜き出すと
 
\[\begin{align*}&c_n\exp\left(\frac{in\pi x}{L}\right)+c_n^*\exp\left(\frac{-in\pi x}{L}\right)\\[6pt]
=&(c_n+c_n^*)\cos\frac{n\pi x}{L}+(c_n-c_n^*)i\sin\frac{n\pi x}{L}\end{align*}\]
となります。ここで
 
\[a_n=c_n+c_n^*,\quad b_n=(c_n-c_n^*)i\]
とおくと、$a_n$ と $b_n$ は実数となります。$c_0$ だけペアがないので別に取り分けて級数展開式を書き直すと
 
\[f(x)=c_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right)\]
となります。フーリエ係数 $a_n$ と $b_n$ は
 
\[\begin{align*}
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx\\[6pt]
b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx\end{align*}\]
と表されます。ここで $c_n$ は
 
\[c_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\exp\left(\frac{-in\pi x}{L}\right)\]
なので、$c_0=a_0/2$ であることがわかります。以上まとめると、

 周期 $2L$ の関数 $f(x)$ は
\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right)\tag{A}\]のように級数展開できて、その係数 $a_n$ と $b_n$ は
\[a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx\tag{B}\]\[b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx\tag{C}\]によって与えられます。

 

偶関数と奇関数に分けます

 $\cos x$ は偶関数、$\sin x$ は奇関数です。したがって $f(x)$ が偶関数であるとき、

[偶関数] × [奇関数] = [奇関数]

なので、フーリエ係数 $b_n$ は(1周期にわたって積分するので) 0 となります。同様に $f(x)$ が奇関数であるときはフーリエ係数 $a_n$ は 0 となります。つまり $f(x)$ が偶関数あるいは奇関数であった場合には、どちらか片方のフーリエ係数を計算すればよいのです。

 任意の関数 $f(x)$ は偶関数 $f_e(x)$ と奇関数 $f_o(x)$ に分けることができます。
 
\[f(x)=f_e(x)+f_o(x)\]
 すると $f(x)$ のフーリエ係数は
 
\[\begin{align*}a_n&=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\{f_e(x)+f_o(x)\}\cos\frac{n\pi x}{L}dx\\[6pt]
&=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f_e(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx\\[6pt]
&=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f_e(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx\\[6pt]
b_n&=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\{f_e(x)+f_o(x)\}\sin\frac{n\pi x}{L}dx\\[6pt]
&=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f_o(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx\\[6pt]
&=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f_o(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx\end{align*}\]
と計算することができます。$f_e(x)$ と $f_o(x)$ が $f(x)$ より積分しやすい形になっているときは、この手法によって計算を簡略化することができます。
 

2次関数をフーリエ級数展開します

 $-\pi\leq x\lt \pi$ によって定義された2次関数 $f(x)=x^2$ を周期 $2\pi$ の関数に拡張します。すなわち
 
\[f(x+\pi)=f(x)\]
とします。この関数をフーリエ級数展開してみます。$f(x)$ が偶関数なので $b_n=0$ です。$a_n$ については
 
\[\begin{align*}
a_0&=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2dx=\frac{2}{3}\pi^2\\[6pt]
a_n&=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos nxdx=\frac{4(-1)^n}{n^2}\end{align*}\]
となります(上の積分は部分積分を繰り返すか、f(x)cosx の積分公式 を使って計算できます)。したがって $f(x)=x^2$ のフーリエ級数展開は
 
\[f(x)=\frac{\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{n^2}\cos nx\]
となります。数値計算では無限に和をとることができないので、和の上限を有限とした
 
\[f(x)=\frac{\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^{k}\frac{4(-1)^n}{n^2}\cos nx\]
で代用することになりますが、積分への寄与は $n^2$ に比例して小さくなるので、10 項程度で十分な精度があります。それでは VBA で計算させた $f(x)$ のグラフを見てみましょう。

 ExcelVBAで描いた2次関数のフーリエ級数展開

 $k=2,5,10$ と推移させています。黒い点線は $y=x^2$ のグラフです。$k$ の増加とともに赤い線が黒い点線に重なっていきます。$k$ をそこそこ大きくとれば、$\pm\pi$ のつなぎ合わせの部分も上手く再現できます。 ≫ 数学事典

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