もとの長方形の面積は？

【算数問題06】辺の長さが整数の長方形

　各辺の長さが 2 以上の整数の長方形 があります。この長方形の縦と横の長さを 2 cm ずつ増やして面積が 45 cm² の長方形を作りました。もとの長方形の面積を求めてください。

【ヒント】今回は比較的簡単な問題です。図を描いて解いてください。何度も言いますけど、ここは算数のコーナーなので方程式を使うのは禁止ですからね。

【解答】面積が 45 cm² の長方形の１辺の長さは整数ですから 45 を掛け算に直して縦×横の形にすると
　
\[45 = 1\times 45,\quad 5\times 9,\quad 3\times 15\]
の 3 通りです。このうち縦の長さが 1 ということはあり得ません（もとの長方形の縦の長さが最小の 2 であるにしても、そこに 2 を加えるわけですから最低でも 4 はあるはずです）。なので、出来上がった長方形の縦・横の長さが
　
\[5\ \mathrm{cm}\times 9\ \mathrm{cm},\quad 3\ \mathrm{cm}\times 15\ \mathrm{cm}\]
となります。そこで、この 2 種類の長方形の図を描いてみると …

　

　このようになります。青い部分が（各辺から 2 cm 引いた）もとの長方形です。したがって、もとの長方形の面積として考えられるのは
　
\[3\times 7=21\ \mathrm{cm}^2,\quad 1\times 13=13\ \mathrm{cm}^2\]
の 2 通りとなります。もとの長方形の辺の長さは 2 以上なので、答えは 21 cm²となります。