整式の剰余定理と因数定理

剰余定理

【剰余定理①の証明】\(P(x)\) を \(x-\alpha\) で割ったときの商を \(Q(x)\) 、余りを \(R\) とすると
　
\[P(x)=Q(x)(x-\alpha)+R\]
と書くことができます。 \(x=\alpha\) を代入すると
　
\[P(\alpha)=R\]
となります。
　

【剰余定理②の証明】\(P(x)\) を \(ax+b\) で割ったときの商を \(Q(x)\) 、余りを \(R\) とすると
　
\[P(x)=Q(x)(ax+b)+R\]
となります。両辺に \(ax+b=0\) を満たす \(x=-b/a\) を代入すると
　
\[P \left( -\frac{b}{a} \right)=R\]
を得られます。■

　多項式 \(P(x)\) を二次以上の式で割る場合も同じように考えて余りを求めることができます。たとえば \(\alpha \neq \beta\) であるとき、 \(P(x)\) を \((x-\alpha)(x-\beta)\) で割ったときの余りを \(ax+b\) とすると
　
\[P(x)=(x-\alpha)(x-\beta)Q(x)+ax+b\]
の形に表せるはずです。両辺に \(x=\alpha,\:x=\beta\) を入れると
　
\[P(\alpha)=a\alpha+b,\quad P(\beta)=a\beta+b\]
が得られるので、これを解いて
　
\[a=\frac{P(\alpha)-f(\beta)}{\alpha-\beta},\quad b=\frac{\alpha P(\alpha)-\beta P(\beta)}{\alpha-\beta}\]
を得ることができます。これは公式ではありません。過程を頭に入れておきます。一般論より実際の問題のほうが計算は簡単です。たとえば
　
\[f(x)=x^2-3x+7\]
という整式を考えて \((x-2)(x-3)\) で割ってみましょう。２次式を１次式で割ったときの余りは最大でも１次式となるはずです（もちろん定数項である可能性もあります）から、
　
\[x^2-3x+7=(x-2)(x-3)+ax+b\]
とおくことができます。両辺に \(x=2,\:3\) を入れて
　
\[2a+b=5,\quad 3a+b=7\]
を得られるので、これを解いて \(a=2,\:b=1\) と決まって余りは
　
\[2x+1\]
であることがわかります。

因数定理

【因数定理の証明】\(P(x)\) を $x-\alpha$ で割ったときの商を $Q(x)$ 、余りを \(R\) とすると、\(P(x)\) が \(x-\alpha\) で割り切れるならば、
　
\[P(x)=(x-\alpha)Q(x)\]
と書くことができます。両辺に \(x=\alpha\) を代入すると
　
\[P(\alpha)=0\]
が成り立ちます。また \(P(x)\) を
　
\[P(x)=Q(x)(x-\alpha)+R\]
と表すことにして、 \(P(\alpha)=0\) であるならば、
　
\[0=Q(\alpha)(\alpha-\alpha)+R\]
より \(R=0\) となりますから、
　
\[P(x)=Q(x)(x-\alpha)\]
と書くことができて、 \(P(x)\) は \(x-\alpha\) で割り切れることがわかります。例として次のような三次整式 \(P(x)\) を因数分解してみます。
　
\[P(x)=x^3-x^2-4x+4\]
　式をじっと睨むと \(P(1)=0\) であることが分かるので、
　\(P(x)\) は \(x-1\) を因数に持ちます。そこで \(P(x)\) を
　
\[P(x)=(x-1)(x^2+ax+b)\]
のように書きます。右辺をよくみると（全部展開する必要はありません）、\(x^2\) の係数は \(a-1\) 、定数項は \(-b\) ですから、これを \(P(x)\) の実際の式と見比べると
　
\[a-1=-1,\quad -b=4\]
となって \(a=0\) , \(b=-4\) が決まり、
　
\[P(x)=(x-1)(x-2)(x+2)\]
と因数分解できます。もちろん \(P(x)\) を実際に \(x-1\) で割り算してもかまいません。