A(x)^2+B(x)^2=0の形を目指します

【AG11】平方根の和と和の平方根の大小を比較します

次の不等式を証明してください。
$(1)\:a\gt 0,\:b\gt 0\quad のとき\quad\sqrt{a}+\sqrt{b}\gt\sqrt{a+b}$
$(2)\:a\gt b\gt 0\quad のとき\quad\sqrt{a-b}\gt\sqrt{a}-\sqrt{b}$
 
【解答の準備】いくつか具体的な数値で確認しておきましょう。不等式 (1) は
 \[\begin{align*}(a,\:b)=&(1,\:1) \qquad 2\gt\sqrt{2}\\[6pt](a,\:b)=&(1,\:2) \qquad 1+\sqrt{2}\gt\sqrt{3}\\[6pt](a,\:b)=&(2,\:2) \qquad 2\sqrt{2}\gt 2\end{align*}\]
という関係が成り立つということです。

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【解答】(1) $A=\sqrt{a}+\sqrt{b},\:B=\sqrt{a+b}$ とおくと、$A \gt 0,\:B\gt 0$ なので、$A^2\gt B^2$ を示せばよいことになります。
 \[A^2-B^2=a+2\sqrt{ab}+b-(a+b)=2\sqrt{ab}\gt0\]
したがって、$\sqrt{a}+\sqrt{b}\gt\sqrt{a+b}$ となります。■

(2) $A=\sqrt{a-b}\gt 0,\:B=\sqrt{a}-\sqrt{b}\gt 0$ とおくと、
 \[\begin{align*}A^2-B^2=&a-b-(a-2\sqrt{ab}+b)\\[6pt]=&2\sqrt{ab}-2b\\[6pt]=&2\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})\gt 0\end{align*}\]
すなわち、$\sqrt{a-b}\gt \sqrt{a}-\sqrt{b} が成り立つことが証明されました。■

【AG12】四数の間で成り立つ相加平均と相乗平均

$0$ 以上の整数 $a,\:b,\:c,\:d$ について
 \[\frac{a+b+c+d}{4}\geq\sqrt[4\:]{abcd}\]
が成り立つことを証明してください。
 
【ヒント】2 つの数 $a,\:b$ について成り立つ相加平均と相乗平均の関係を使って証明します。

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【解答】相加平均と相乗平均の関係式より、
 \[\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab},\quad \frac{c+d}{2}\geq\sqrt{cd}\]
が成り立ちます。等号は $a=b,\quad c=d$ のときに成立します。辺々を加えると
 \[\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\geq\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\]
となりますが、右辺にまた相加・相乗平均の式を適用すると
 \[\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\geq 2\sqrt{\sqrt{ab}\sqrt{cd}}=2\sqrt[4]{abcd}\]
となります（等号は $ab=cd$ のときに成立）。したがって
 \[\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\geq 2\sqrt[4]{abcd}\]
両辺を $2$ で割ると
 \[\frac{a+b+c+d}{4}\geq\sqrt[4]{abcd}\]
が成り立つことが示されました。等号は $a=b$ かつ $c=d$ かつ $ab=cd$ のとき、すなわち $a=b=c=d$ のときに成立します。

【AG13】2 つの未知数を含む二次方程式

次の二次方程式の解 $x,\:y$ を求めてください。
 \[x^2+2y^2+2xy-4x-6y+5=0\]
【ヒント】方程式は１つなのに未知数が２つもあります。しかし解は $x,\:y$ ともに１つずつに決まるのです。

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【解答】方程式を $A(x)^2+B(y)^2=0$ の形にすることができれば、$A(x)=0,\:B(y)=0$ という 2 つの方程式に分離することができます。$A(x)^2+B(y)^2=0$ を目指して変形していきましょう。まず $x$ について整理すると
 \[x^2+(2y-4)x+2y^2-6y+5=0\]
となります。次は平方完成していきます。
 \[\begin{align*}&(x+y-2)^2-(y-2)^2+2y^2-6y+5=0\\[6pt]&(x+y-2)^2+y^2-2y+1=0\\[6pt]&(x+y-2)^2+(y-1)^2=0\end{align*}\]
したがって
 \[x+y-2=0,\quad y-1=0\]
という連立方程式が得られるので、これを解いて $x=1,\:y=1$ となります。