AG-11 「平方根の和」と「和の平方根」
次の不等式を証明してください。
\((1)\:a \gt 0,\:b \gt 0\) のとき \(\sqrt{a}+\sqrt{b} \gt \sqrt{a+b}\)
\((2)\:a \gt b \gt 0\) のとき \(\sqrt{a-b} \gt \sqrt{a}-\sqrt{b}\)
解答の準備
いくつか具体的な数値で確認しておきましょう。 (1) の不等式は
\[\begin{align*}(a,\:b)=&(1,\:1) \qquad 2 \gt \sqrt{2}\\[6pt]
(a,\:b)=&(1,\:2) \qquad 1+\sqrt{2} \gt \sqrt{3}\\[6pt]
(a,\:b)=&(2,\:2) \qquad 2\sqrt{2} \gt 2\end{align*}\]というような関係が成り立つということです。
[内容：可換代数／アフィン代数多様体／リーマンの定理／リーマン・ロッホの定理／アフィン代数的集合／整数環／楕円曲線／射影多様体／非特異射影曲線／射影平面曲線]
AG-10 の解答
(1) \(A=\sqrt{a}+\sqrt{b}, \: B=\sqrt{a+b}\) とおくと、
\(A \gt 0, \: B \gt 0\) ですから、 \(A^2 \gt B^2\) を示せばよいことになります。
\[A^2-B^2=a+2\sqrt{ab}+b-(a+b)=2\sqrt{ab}\gt0\]
したがって、 \(\sqrt{a}+\sqrt{b} \gt \sqrt{a+b}\) となります。
(2) \(A=\sqrt{a-b} \gt 0, \: B=\sqrt{a}-\sqrt{b} \gt 0\) とおくと、
\[\begin{align*}
A^2-B^2=&a-b-(a-2\sqrt{ab}+b)\\[6pt]
=&2\sqrt{ab}-2b\\[6pt]
=&2\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) \gt 0\end{align*}\]
すなわち、 \(\sqrt{a-b} \gt \sqrt{a}-\sqrt{b}\) が成り立つことが証明されました。
AG-12 4 数の間で成り立つ相加平均と相乗平均
0 以上の整数 a, b, c, d について
\[\frac{a+b+c+d}{4} \geq \sqrt[4\:]{abcd}\]
が成り立つことを証明してください。
AG-12 のヒント
2 つの数 a, b について成り立つ相加平均と相乗平均の関係を使って証明します。
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AG-12 の解答
相加平均と相乗平均の関係式より、
\[\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab},\quad \frac{c+d}{2}\geq\sqrt{cd}\]
が成り立ちます。等号は \(a=b,\quad c=d\) のときに成立します。辺々を加えると
\[\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\geq\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\]
となりますが、右辺にまた相加・相乗平均の式を適用すると
\[\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\geq 2\sqrt{\sqrt{ab}\sqrt{cd}}=2\sqrt[4]{abcd}\]
となります（等号は \(ab=cd\) のときに成立）。したがって
\[\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\geq 2\sqrt[4]{abcd}\]
両辺を 2 で割ると
\[\frac{a+b+c+d}{4} \geq \sqrt[4]{abcd}\]
が成り立つことが示されました。等号は
のとき、すなわち \(a=b=c=d\) のときに成立します。
[問題 AG-13] 2 つの未知数を含む 2 次方程式
次の 2 次方程式の解 x, y を求めてください。
\[x^2+2y^2+2xy-4x-6y+5=0\]
問題 AG-13 のヒント
方程式は１つなのに未知数が２つもあります。
しかし解は x, y ともに１つずつに決まるのです。
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問題 AG-13 の解答
方程式を \(A(x)^2+B(y)^2=0\) の形にすることができれば、 \(A(x)=0,\:B(y)=0\) という 2 つの方程式に分離することができます。 \(A(x)^2+B(y)^2=0\) を目指して変形していきましょう。まず x について整理すると
\[x^2+(2y-4)x+2y^2-6y+5=0\]
となります。次は平方完成していきます。
\[\begin{align*}&(x+y-2)^2-(y-2)^2+2y^2-6y+5=0\\[6pt]
&(x+y-2)^2+y^2-2y+1=0\\[6pt]
&(x+y-2)^2+(y-1)^2=0\end{align*}\]
したがって
\[x+y-2=0,\quad y-1=0\]
という連立方程式が得られるので、これを解いて \(x=1,\:y=1\) となります。