平方根の四則演算(足し算、引き算、掛け算、割り算)



≫『大学への数学』最新号
≫ 挑戦問題 PS-19 が入りました。

 前回は 2 次方程式を解くために数の範囲を無理数まで拡張し、平方根 (√) で表すことを学びました。今回は平方根の四則演算について学びます。

平方数の平方根

 たとえば √9 のような平方数の平方根の表記を見かけたら、これは

x2 = 9

のプラス解 + 3 ですから、

√9 = 3

というように平方根を外しておきます。
 

平方根同士の足し算と引き算

 たとえば

2√2 + 3√2

というように同じ平方根が含まれている項については

2√2 + 3√2 = 5√2

と簡単にまとめることができます。一般的な形で書くと、
 
\[m\sqrt{a}+n\sqrt{a}=(m+n)\sqrt{a}\]
となります。

√5 + √7

といったような数は、これ以上は操作できません。

√5 = 2.23606797 ...... , √7 = 2.64575131 ......

というように小数で表せば、

√5 + √7 = 4.88181928

という近似値を得ることができるのですが、この無限小数を1つの記号で表す方法は残念ながらありません。なので、√5 + √7 という書き方で我慢するしかないのです。引き算も同じです。
 

平方根同士の掛け算と割り算

 同じ平方根同士を掛け算する場合はもちろん

√2 √2 = 2

となります(これが平方根の定義です)。異なる平方根の場合、たとえば

√2 √3

をどのように計算できるかを平方根の定義に立ち返って考えてみます。

√2 √2 = 2
√3 √3 = 3

ですから、この2式を両辺掛け合わせると

(√2 √2)(√3 √3) = 6

 左辺の掛け算の順序を入れ替えて、右辺は平方根で分解すると

(√2 √3)(√2 √3) = √6 √6

 右辺と左辺を見比べて

√2 √3 = √6

と計算してよいことがわかります。より一般には
 
\[\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\]
が成り立ちます。 a = b のときは平方根の定義そのものです。 b = 1 / c とおいてみると
 
\[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a}{c}}\]
という割り算の公式も得られます。

問題 次の式を計算してください

\((1)\: \: 1+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{9}\)
\((2)\: \: \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\: \sqrt{5}+1\)

問題の解答

\((1)\: \: 1+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{9}=4+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}\)
\((2)\: \: \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\: \sqrt{5}+1=\sqrt{4}+\sqrt{15}+1=3+\sqrt{15}\)

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