2 次関数の平方根をとります



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≫ 挑戦問題 PS-19 が入りました。

 今回は 2 次関数の平方根を考えます。感覚的にはおおよそ 1 次関数となるはずですが、 1 次の項と定数項がグラフに特徴を与えます。
 

x2 + x + 1 の平方根

 次のような関数を考えます。
 
\[f(x)=\sqrt{x^{2}+x+1}\]
 x が十分大きいところでは √ の中身は x2 とみなしてよいので、漸近線は y = |x|, すなわち、

x < 0 のとき y = - x, x > 0 のとき y = x

となります。

 Excelグラフy=sqrt(x^2+x+1)

 グラフを見てわかるように、 x < 0 ではマイナス側から、 x > 0 ではプラス側から漸近線に近づきます。
 

振動させてみます

 上の関数に cosx をかけて
 
\[f(x)=\sqrt{x^{2}+x+1}\: cosx\]
という関数を作ってみます。

 Excelグラフy=cosxsqrt(x^2+x+1)

 この場合は先程は曲線の漸近線であった y = - x と y = x はおおよその振幅範囲を示す直線となります。 x が小さいところでは振幅はこの直線からずれてしまいますが、x が大きくなるにしたがって、この両直線の間に収まるようになります。
 

√ の中に cosx を入れます

 √ の中の 1 次の項に cosx を掛けて
 
\[f(x)=\sqrt{x^{2}+xcosx+1}\]
という関数のグラフを描いてみます。

 Excelグラフy=sqrt(x^2+xcosx+1)

 全体的にぐにゃぐにゃと曲がった関数になりますが、振動効果は限定的で x が十分に大きいところでは、やはり漸近線に沿う直線となります。

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