3で割ると2余り、7で割ると6余る三桁の正整数

【NT09】条件に合う整数はいくつ?

 $3$ で割ると $2$ が余り、$7$ で割ると $6$ 余る 三桁の正の整数は全部でいくつありますか。

【ヒント】ちょっとだけ細工をしてみると …
 

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【解答】$3$ で割ると $2$ が余る数は
 
\[n=3a+2\qquad (a\geq 1)\]
と表せます。同じように $n$ は $7$ で割ると $6$ 余るので
 
\[n=7b+6\qquad (b\geq 1)\]
と書くこともできます。そこで $n$ に $1$ を加えてみると
 
\[\begin{align*}&n+1=3(a+1)\\[6pt]&n+1=7(b+1)\end{align*}\]
となって、 $n+1$ は $3$ と $7$ の両方で割り切れる数であることがわかります。つまり $n+1$ は $3$ と $7$ の最小公倍数 $21$ の倍数なので、
 
\[n+1=21k\qquad (k\geq 1)\]
とおくことができます。$99 \leq n \leq 999$ ですから、$k$ について
 
\[101\leq 21k\leq 1000\]
が成り立ちます。すなわち、$k$ のとりうる範囲は
 
\[5\leq k\leq 47\]
となります。よって問題の条件を満たす数は
 
\[47-5+1=43個\]
あることがわかります。

【別解】別解です。代入連立方程式という手法で解いてみます。条件より求める三桁の正整数 $n$ は $3a+2$ または $7b+6$ と表せるので、
 
\[3a+2=7b+6\]
 式を少し変形して
 
\[3a-7b=4\tag{*}\]
 この方程式を満たす解を1つだけ見つけます。
 
\[(a,b)=(6,2)\]
 これを式 (*) に代入して (*) と並べます。
 
\[\begin{align*}&3a-7b=4\\[6pt]&3\cdot 6-7\cdot 2=4\end{align*}\]
 上式から下式を引き算して整理すると
 
\[3(a-6)=7(b-2)\]
 よって $b-2$ は $3$ の倍数であることがわかるので
 
\[b=3k+2\]
とおいて、
 
\[n=7(3k+2)+6=21k+20\]
 $100\leq n \leq 999$ なので
 
\[80\leq 21k\leq 970\]
 すなわち
 
\[4\leq k\leq 46\]
となります。よって $k$ の個数は
 
\[46-4+1=43個\]
となります。

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