3 で割ると 2 余り、7 で割ると 6 余る 3 桁の正整数

［問題 NT-09] 条件に合う整数はいくつ？

　3 で割ると 2 が余り、7 で割ると 6 余る 3 桁の正の整数は全部でいくつありますか。

　ちょっとだけ細工をしてみると ......

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　3 で割ると 2 が余る数は

n = 3 a + 2　　　( a は正の整数)

と表せます。同じように n は 7 で割ると 6 余るので

n = 7 b + 6　　　( b は正の整数)

と書くこともできます。そこで n に 1 を加えてみると

n + 1 = 3 a + 3 = 3 (a + 1)
n + 1 = 7 b + 7 = 7 (b + 1)

というように、 n + 1 は 3 と 7 の両方で割り切れる数であることがわかります。つまり n + 1 は 3 と 7 の最小公倍数 21 の倍数なので、

n + 1 = 21 k　　　( k は正の整数)

とおくことができます。 99 ≦ n ≦ 999 ですから、

101 ≦ 21 k ≦ 1000　⇔　5 ≦ k ≦ 47

というように k のとりうる範囲が定まります。よって問題の条件を満たす数は

47 － 5 + 1 = 43 個

あることがわかります。

　代入連立方程式という手法で解いてみます。

3 a + 2 = 7 b + 6　⇔　3 a － 7 b = 4　　　[*]

　この方程式を満たす解を１つだけ見つけます：

(a, b) = (6, 2)

　これを [*] に代入して [*] と並べます。

3 a － 7 b = 4
3・6 － 7・2 = 4

　上式から下式を引き算して整理すると

3 (a － 6) = 7 (b － 2)

　よって b － 2 は 3 の倍数であることがわかるので

b = 3 k + 2

とおいて、

N = 7(3 k + 2) + 6 = 21 k + 20

　100 ≦ N ≦ 999 なので

80 ≦ 21 k ≦ 970　⇒　4 ≦ k ≦ 46

となります。よって k の個数は

46 － 4 + 1 = 43 個