［問題 NT-09] 条件に合う整数はいくつ？
3 で割ると 2 が余り、7 で割ると 6 余る 3 桁の正の整数は全部でいくつありますか。
問題 NT-09 のヒント
ちょっとだけ細工をしてみると ......
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問題 NT-09 の解答
3 で割ると 2 が余る数は
n = 3 a + 2 ( a は正の整数)
と表せます。同じように n は 7 で割ると 6 余るので
n = 7 b + 6 ( b は正の整数)
と書くこともできます。そこで n に 1 を加えてみると
n + 1 = 3 a + 3 = 3 (a + 1)
n + 1 = 7 b + 7 = 7 (b + 1)
n + 1 = 7 b + 7 = 7 (b + 1)
というように、 n + 1 は 3 と 7 の両方で割り切れる数であることがわかります。つまり n + 1 は 3 と 7 の最小公倍数 21 の倍数なので、
n + 1 = 21 k ( k は正の整数)
とおくことができます。 99 ≦ n ≦ 999 ですから、
101 ≦ 21 k ≦ 1000 ⇔ 5 ≦ k ≦ 47
というように k のとりうる範囲が定まります。よって問題の条件を満たす数は
47 － 5 + 1 = 43 個
あることがわかります。
問題 NT-09 の別解
代入連立方程式という手法で解いてみます。
3 a + 2 = 7 b + 6 ⇔ 3 a － 7 b = 4 [*]
この方程式を満たす解を１つだけ見つけます：
(a, b) = (6, 2)
これを [*] に代入して [*] と並べます。
3 a － 7 b = 4
3・6 － 7・2 = 4
3・6 － 7・2 = 4
上式から下式を引き算して整理すると
3 (a － 6) = 7 (b － 2)
よって b － 2 は 3 の倍数であることがわかるので
b = 3 k + 2
とおいて、
N = 7(3 k + 2) + 6 = 21 k + 20
100 ≦ N ≦ 999 なので
80 ≦ 21 k ≦ 970 ⇒ 4 ≦ k ≦ 46
となります。よって k の個数は
46 － 4 + 1 = 43 個
となります。 ≫ [問題10] 完全数 ≫ 数学演習問題
