[NT09] 条件に合う整数はいくつ?
3 で割ると 2 が余り、7 で割ると 6 余る 3 桁の正の整数は全部でいくつありますか。
【ヒント】ちょっとだけ細工をしてみると …
解答NT09 ある数とある数の最小公倍数の倍数です
3 で割ると 2 が余る数は
n = 3a + 2 ( a は正の整数)
と表せます。同じように n は 7 で割ると 6 余るので
n = 7b + 6 ( b は正の整数)
と書くこともできます。そこで n に 1 を加えてみると
n + 1 = 3a + 3 = 3 (a + 1) n + 1 = 7b + 7 = 7(b + 1)
というように、 n + 1 は 3 と 7 の両方で割り切れる数であることがわかります。つまり n + 1 は 3 と 7 の最小公倍数 21 の倍数なので、
n + 1 = 21k ( k は正の整数)
とおくことができます。 99 ≦ n ≦ 999 ですから、
101 ≦ 21k ≦ 1000 ⇔ 5 ≦ k ≦ 47
というように k のとりうる範囲が定まります。よって問題の条件を満たす数は
47 - 5 + 1 = 43 個
あることがわかります。
【別解】別解です。代入連立方程式という手法で解いてみます。
3a + 2 = 7b + 6 ⇔ 3a - 7b = 4 [*]
この方程式を満たす解を1つだけ見つけます:
(a, b) = (6, 2)
これを [*] に代入して [*] と並べます。
3 a - 7b = 4 3・6 - 7・2 = 4
上式から下式を引き算して整理すると
3 (a - 6) = 7(b - 2)
よって b – 2 は 3 の倍数であることがわかるので
b = 3k + 2
とおいて、
N = 7(3k + 2) + 6 = 21k + 20
100 ≦ N ≦ 999 なので
80 ≦ 21k ≦ 970 ⇒ 4 ≦ k ≦ 46
となります。よって k の個数は
46 - 4 + 1 = 43 個
となります。
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