変数変換/双曲線族に直交する曲線族

[問題 DE-04] 変数変換を繰り返します

 微分方程式 $yy '=x\,e^{x^2+y^2}$ を解いてください。
 

問題 DE-04 のヒント

 方程式を眺めていると、とりあえず、ある部分を別の変数で置き換えてみたくなりますね。それで変数分離はできるのですが、そのあとで、さらにもう1回変数変換して解きます。もしかすると他にもっと上手い解き方があるのかもしれないので、見つけたらコメントよろしくお願いします。

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問題 DE-04 の解答

 与えられた微分方程式
 
\[y\frac{dy}{dx}=xe^{x^2+y^2}\tag{A}\]
において $z=x^2+y^2$ とおくと $z '=2x+2yy '$ なので上の式は
 
\[\frac{dz}{dx}=(1+e^z)2x\]
となります。これは変数分離できて
 
\[\frac{dz}{1+e^z}=2xdx\]
 さらに $1+e^z=t$ とおくと $dz=e^{-z}dt$ なので
 
\[\frac{dt}{t(t-1)}=2xdx\]
 左辺の分数を分解すると
 
\[\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t}=2xdx\]
 両辺を積分すると
 
\[\log\,\left|\frac{t-1}{t}\right|=x^2+c\]
 変数を $t$ から $z$ に戻すと

\[\log\,\left|\frac{e^z}{1+e^z}\right|=x^2+c\]
 $A=\pm e^c$ とおくと
 
\[\frac{e^z}{1+e^z}=Ae^{x^2}\]
 変数を $z$ から $x^2+y^2$ に戻すと
 
\[e^{x^2+y^2}=Ae^{x^2}(1+e^{x^2+y^2})\]
 式を整理すると
 
\[1=A(e^{-y^2}+e^{x^2})\]
 $B=1/A$ とおくと

\[e^{x^2}+e^{-y^2}=B\]
という解が得られます。

 ≫ [問題05] 双曲線族に直交する曲線 ≫ 微分方程式演習
 
 

[問題 DE-05] 双曲線族に直交する曲線族

 $C$ をパラメータとする双曲線族
\[(x-2y)(2x-y)=C\]に直交する曲線族を求めてください。

問題 DE-05 のヒント

 2つの曲線が直交する条件は接線の傾きの積が -1 となることです。

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問題 DE-05 の解答

 与えられた双曲線族の方程式
 
\[(x-2y)(2x-y)=C\]
の両辺を微分すると
 
\[(1-2y')(2x-y)+(x-2y)(2-y')=0\]
 $y'$ について解くと
 
\[y'=\frac{4x-5y}{5x-4y}\]
 双曲線族に直交する曲線を $y=f(x)$ とすると
 
\[f'y'=-1\]
という関係が成り立つので
 
\[f'=-\frac{5x-4y}{4x-5y}\]
 ここで $y=ux$ とおくと $y'=u+xu'$ より
 
\[u+x\frac{du}{dx}=-\frac{5x-4y}{4x-5y}\]
 式を整理すると
 
\[x\frac{du}{dx}=-\frac{5(u^2-1)}{5u-4}\]
 変数分離すると
 
\[\frac{5u-4}{u^2-1}du=-5\frac{dx}{x}\]
 左辺の分数を分解すると
 
\[\left(\frac{9}{u+1}+\frac{1}{u-1}\right)du=-10\frac{dx}{x}\]
 両辺を積分すると
 
\[\log|(u+1)^9(u-1)x^{10}|=c\]
 変数を戻して $A=\pm e^c$ とおくと
 
\[(y+x)^9(y-x)=A\]
という、与えられた双曲線族に直交する曲線の方程式が得られます。

 ≫ [問題06] 伝染曲線 ≫ 微分方程式演習

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