yy’=xe^(x^2+y^2)

[DE04] yy’=xe^(x^2+y^2)

　微分方程式 $yy’=x\,e^{x^2+y^2}$ を解いてください。

【ヒント】方程式を眺めていると、とりあえず、ある部分を別の変数で置き換えてみたくなりますね。それで変数分離はできるのですが、そのあとで、さらにもう１回変数変換して解きます。もしかすると他にもっと上手い解き方があるのかもしれないので、見つけたらコメントよろしくお願いします。

解答DE04

　与えられた微分方程式
　
\[y\frac{dy}{dx}=xe^{x^2+y^2}\tag{A}\]
において $z=x^2+y^2$ とおくと $z’=2x+2yy’$ なので上の式は
　
\[\frac{dz}{dx}=(1+e^z)2x\]
となります。これは変数分離できて
　
\[\frac{dz}{1+e^z}=2xdx\]
　さらに $1+e^z=t$ とおくと $dz=e^{-z}dt$ なので
　
\[\frac{dt}{t(t-1)}=2xdx\]
　左辺の分数を分解すると
　
\[\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t}=2xdx\]
　両辺を積分すると
　
\[\log\,\left|\frac{t-1}{t}\right|=x^2+c\]
　変数を $t$ から $z$ に戻すと

\[\log\,\left|\frac{e^z}{1+e^z}\right|=x^2+c\]
　$A=\pm e^c$ とおくと
　
\[\frac{e^z}{1+e^z}=Ae^{x^2}\]
　変数を $z$ から $x^2+y^2$ に戻すと
　
\[e^{x^2+y^2}=Ae^{x^2}(1+e^{x^2+y^2})\]
　式を整理すると
　
\[1=A(e^{-y^2}+e^{x^2})\]
　$B=1/A$ とおくと

\[e^{x^2}+e^{-y^2}=B\]
という解が得られます。

[DE05] 曲線族に直交する曲線族

　$C$ をパラメータとする双曲線族
　
\[(x-2y)(2x-y)=C\]
に直交する曲線族を求めてください。

【ヒント】２つの曲線が直交する条件は接線の傾きの積が －1 となることです。

解答DE05

　与えられた双曲線族の方程式
　
\[(x-2y)(2x-y)=C\]
の両辺を微分すると
　
\[(1-2y’)(2x-y)+(x-2y)(2-y’)=0\]
　$y’$ について解くと
　
\[y’=\frac{4x-5y}{5x-4y}\]
　双曲線族に直交する曲線を $y=f(x)$ とすると
　
\[f’y’=-1\]
という関係が成り立つので
　
\[f’=-\frac{5x-4y}{4x-5y}\]
　ここで $y=ux$ とおくと $y’=u+xu’$ より
　
\[u+x\frac{du}{dx}=-\frac{5x-4y}{4x-5y}\]
　式を整理すると
　
\[x\frac{du}{dx}=-\frac{5(u^2-1)}{5u-4}\]
　変数分離すると
　
\[\frac{5u-4}{u^2-1}du=-5\frac{dx}{x}\]
　左辺の分数を分解すると
　
\[\left(\frac{9}{u+1}+\frac{1}{u-1}\right)du=-10\frac{dx}{x}\]
　両辺を積分すると
　
\[\log|(u+1)^9(u-1)x^{10}|=c\]
　変数を戻して $A=\pm e^c$ とおくと
　
\[(y+x)^9(y-x)=A\]
という、与えられた双曲線族に直交する曲線の方程式が得られます。