2乗して5の倍数となる数nは5の倍数です

【NT11】平方して5の倍数となる数

　自然数 $n$ について、$n^2$ が $5$ の倍数であれば、$n$ もまた $5$ の倍数であることを証明してください。

【ヒント】ほとんど自明のことに思えますが、すっきり証明するには命題を「書き換えて」みることが必要になります。
　

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【解答】与えられた命題「$n^2$ が $5$ の倍数 ⇒ $n$ が $5$ の倍数」を直接証明するのは難しいので、対偶をとって「$n$ が $5$ の倍数ではない ⇒ $n^2$ が $5$ の倍数ではない」を証明します。$5$ の倍数ではない自然数は正の整数 $k$ を使って、
　
\[n=5k\pm 1,\ 5k\pm 2\]
と表すことができます。それぞれの平方数をつくると
　
\[\begin{align*}(5k\pm 1)^2=25k^2\pm 10k+1=5k(5k\pm 2)+1\\[6pt]
(5k\pm 2)^2=25k^2\pm 20k+4=5k(5k\pm 4)+4\end{align*}\]
となって確かに 5 の倍数とはなっていません。（証明終）

　下に $p\rightarrow q$ が成り立つための集合図を載せておきました。
　対偶関係を確認しておいてください。

　　

【NT12】x(x-a)(x-b)-5 を x-c で割って余りが 0 となる正整数 a,b,c

　次のように定義される $x$ の整式
　
\[f(x)=x(x-a)(x-b)-5\]
が $x-c$ で割り切れるような正の整数 $a,\ b,\ c$ を全て求めてください。

【ヒント】$5$ が素数なので、とりうる値はかなり制限されます。
　

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【解答】$x-c$ で割り切れるということは、因数定理 によって $f(c)=0$ が成り立つということです。すなわち
　
\[f(c)=x(c-a)(c-b)-5=0\]
　この式を整理すると
　
\[c(c-a)(c-b)=5\]
　上の式は $a,\ b$ に関して対称ですから、とりあえず勝手に $a\leq b$ という制限をかけます（あとで外します）。すると
　
\[c-b\leq c-a\leq c\]
という不等式が成り立ちます。右辺の $5$ は素数ですから、 3 つの数の積は小さいほうから並べて
　
\[(c-b,\ c-a,\ c)=(-1,\ -1,\ 5),\ (1,\ 1\ 5),\ (-5,\ -1,\ 1)\]
の 3 通りしかありません。それぞれの場合について $a,\ b,\ c$ を解くと
　
\[(a,\ b,\ c) = (6,\ 6,\ 5),\ (4,\ 4,\ 5),\ (2,\ 6,\ 1)\]
となります。ここで $a\leq b$ の条件を外すと $a,\ b$ について交換可能ですから、$(6,\ 2,\ 1)$ という組合せが加わります。以上より求める正整数 $a,\ b,\ c$ は
　
\[(a,\ b,\ c) = (6,\ 6,\ 5),\ (4,\ 4,\ 5),\ (2,\ 6,\ 1),\ (6,\ 2,\ 1)\]
となります。