2乗して5の倍数となる数nは5の倍数です

【NT11】平方して5の倍数となる数

 自然数 $n$ について、$n^2$ が $5$ の倍数であれば、$n$ もまた $5$ の倍数であることを証明してください。

【ヒント】ほとんど自明のことに思えますが、すっきり証明するには命題を「書き換えて」みることが必要になります。

【解答】与えられた命題「$n^2$ が $5$ の倍数 ⇒ $n$ が $5$ の倍数」を直接証明するのは難しいので、対偶をとって「$n$ が $5$ の倍数ではない ⇒ $n^2$ が $5$ の倍数ではない」を証明します。$5$ の倍数ではない自然数は正の整数 $k$ を使って、
 
\[n=5k\pm 1,\ 5k\pm 2\]
と表すことができます。それぞれの平方数をつくると
 
\[\begin{align*}(5k\pm 1)^2=25k^2\pm 10k+1=5k(5k\pm 2)+1\\[6pt]
(5k\pm 2)^2=25k^2\pm 20k+4=5k(5k\pm 4)+4\end{align*}\]
となって確かに 5 の倍数とはなっていません。(証明終)

 下に $p\rightarrow q$ が成り立つための集合図を載せておきました。
 対偶関係を確認しておいてください。

  Excel命題の対偶

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