x = tan(cosθ), y = tan(sinθ)



≫『大学への数学』最新号
≫ 挑戦問題 PS-19 が入りました。

 今回のベースとなる方程式は

x = tan(cosθ), y = tan(sinθ)

です。tanθ は -π / 2 < θ < π / 2 の範囲で連続です(両端で発散)。cosθ や sinθ の値域は -1 ~ 1 ですから、 tan(cosθ) や tan(sinθ) は全域で連続関数となります。それではさっそくグラフを描いてみましょう。媒介変数の範囲は -π ≦ θ π です。

 Excel歪んだ正方形

 角が丸まった正方形もどきです。
 この方程式を少しずつ変えて色々なグラフを作ってみます。 
 

円? 正方形?

 x に cosθ, y に sinθ を加えて

x = tan(cosθ) + cosθ
y = tan(sinθ) + sinθ

という方程式のグラフを描いてみます。

 エクセル丸みを帯びた四角形

 円と正方形の混ざり合ったような何だか曖昧な形ですね。
 x = cosθ, y = sinθ は円の方程式ですから、これを加えることで全体的に外側へ膨らませる効果があるのです。
 

2 つの図形が現れます

 上の方程式を少し変えて

x = tan(cosθ) + cos(θ/2)
y = tan(sinθ) + sinθ

という方程式を作ってみると ......

 Excel丸みを帯びた四角形が2つ

 四角形もどきが 2 つ現れましたね。
 

絡み合った紐のような ......

 θの 1 部を少しいじって

x = tan(cosθ) + cos(θ/2)
y = tan(sinθ) + sin2θ

としてみるだけで、図形はがらりと姿を変えます。

 Excel絡み合った紐

 ついでにもう 1 つ、

x = tan(cosθ) + cos(θ/2)
y = tan(sinθ) + sin2θ

のグラフも載せておきます。

 Excelぐにゃぐにゃグラフ

 もはや何と形容してよいのかわかりませんね。
 媒介変数表示の方程式は予測不能です。
 

犬が喜びそうな ......

 tan の中身を少し変えて

x = tan(cosθ + sinθ)
y = tan(sinθ) + sinθ

という方程式にしてみると ......

 エクセル骨のグラフ

 骨? 犬が喜んでかじりつきそうな形ですね。

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