商と余りに 3 つの条件がつく場合

 類型別問題研究「商と余り」の演習問題です。

問題 01 商と余りに 3 つの条件がつく場合

 6 で割ると 3 余り、7 で割ると 4 余り、8 で割ると 5 余る 3 桁の自然数を全て求めてください。

問題 01 の解答

 「全て求めよ」と問われているので、「条件を満たす解はそれほどたくさんないだろうな」と予測できますね。とりあえず条件を書き下してみます。求める自然数を N とおいて

N = 6 x + 3 = 7 y + 4 = 8 z + 5

 3 連立方程式なので、代入連立方程式はやや面倒です。
 この問題に関しては N に 3 を加えると綺麗に倍数になることがすぐにわかります。

N + 3 = 6 (x + 1) = 7 (y + 1) = 8 (z + 1)

 よって N + 3 は 6 と 7 と 8 の最小公倍数 168 の倍数ですから

  N + 3 = 168 k

  N = 168 k - 3 = 165, 333, 501, 669, 837

これが答えとなります。
 

問題 02 AA × BB

 十の位と一の位が同じである 2 桁の整数 M と N があります。この整数の積 M N を 40 で割ると 23 となりました。この条件を満たす M と N を求めてください。(平成 17 年度公務員試験/市役所 改)

問題 02 の解答

 余りが 23 というのが最大のヒントになっています。

M N = 40 k + 23 = 73, 103, 143, ......

ですから、必ず末位が 3 となっています。九九表の中で末位が 3 となる数は

1 × 3, 7 × 9

のみです。ですから

(M, N) = (11, 33), (33, 11), (77, 99), (99, 77)

積を作ると

11 × 33 = 363, 77 × 99 = 7623

となります。それぞれ 40 で割ると

363 / 40 = 9 ・・・ 3, 7623 / 40 = 190 ・・・ 23

となるので、

(M, N) = (77, 99), (99, 77)

が答えとなります。


 

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