三角関数を係数にもつ 2 次方程式の解曲線
三角関数を係数とする 次のような 2 次方程式を考えます。
\[x^2+(\cos\theta)x+\sin\theta=0\tag{1}\]
この方程式の解は $\theta$ をパラメータとして
\[x(\theta)=\frac{1}{2}\left\{-\cos\theta\pm\sqrt{\cos^2\theta-4\sin\theta}\right\}\]
と表せます。$\theta$ を動かして、この解の実部と虚部 $(\mathrm{Re}x,\;\mathrm{Im}x)$ を複素数平面上にプロットしてみると、次のような曲線を描きます。
実軸に沿う直線（実数解）と、楕円のような曲線（虚数解）に分かれています。
次は定数項を $\cos\theta$ に変えて
\[x^2+(\cos\theta)x+\cos\theta=0\tag{1}\]
という方程式の解曲線を描いてみます。
やはり虚数解の集合はきれいな曲線を描いています。