三角関数を係数とする 2 次方程式の解曲線

三角関数を係数にもつ 2 次方程式の解曲線

 三角関数を係数とする 次のような 2 次方程式を考えます。
 
\[x^2+(\cos\theta)x+\sin\theta=0\tag{1}\]
 この方程式の解は $\theta$ をパラメータとして
 
\[x(\theta)=\frac{1}{2}\left\{-\cos\theta\pm\sqrt{\cos^2\theta-4\sin\theta}\right\}\]
と表せます。$\theta$ を動かして、この解の実部と虚部 $(\mathrm{Re}x,\;\mathrm{Im}x)$ を複素数平面上にプロットしてみると、次のような曲線を描きます。

 Excel三角関数を係数とする2次方程式の解曲線

 実軸に沿う直線(実数解)と、楕円のような曲線(虚数解)に分かれています。
 次は定数項を $\cos\theta$ に変えて
 
\[x^2+(\cos\theta)x+\cos\theta=0\tag{1}\]
という方程式の解曲線を描いてみます。

 Excel三角関数を係数とする2次方程式の解曲線②

 やはり虚数解の集合はきれいな曲線を描いています。

 ≫ Excel 数学グラフ

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