行列形式による和と差の公式の証明

 高校数学の中でも、三角関数の 和と差の公式 は特に覚えにくい公式ですね。しかし行列形式を用いると次のように簡潔な式で表されます。
 
\[\mathrm{exp}(A\tilde{I})+\mathrm{exp}(B\tilde{I})=2\: \mathrm{cos} \frac{A-B}{2}\mathrm{exp}\left ( \frac{A+B}{2}\tilde{I} \right ) \tilde{E}\tag{1}\]
 ここで \(\tilde{E}\) は単位行列、 \(\tilde{I}\) は行列で表された虚数単位で
 
\[\tilde{I}=\begin{pmatrix}
0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\]
によって定義されています。 \(\mathrm{exp}(\theta \tilde{I})\) はオイラーの式の行列形式による表現で
 
\[\mathrm{exp}(\theta \tilde{I})=\tilde{E}\: \mathrm{cos\theta }+\tilde{I}\: \mathrm{sin}\theta =\begin{pmatrix}\mathrm{cos}\theta & -\mathrm{sin}\theta \\
\mathrm{sin}\theta & \mathrm{sin}\theta \end{pmatrix}\]
 これは平面における角度 θ の回転を表す行列です。公式 (1) において B → B + π と変換すれば直ちに三角関数の差についての表式を得ることができます。
 
\[\mathrm{exp}(A\tilde{I})-\mathrm{exp}(B\tilde{I})=2\: \mathrm{sin} \frac{A-B}{2} \mathrm{exp}\left ( \frac{A+B}{2}\tilde{I} \right )\tilde{I} \tag{2}\]

(1) の証明

 証明は簡単です。
 
\[\begin{align*}&\mathrm{exp}(A\tilde{I})+\mathrm{exp}(B\tilde{I})\\[10pt]
&=\mathrm{exp}\left ( \frac{A+B}{2}\tilde{I} \right )\left [ \mathrm{exp}\left ( \frac{A-B}{2}\tilde{I} \right )+\mathrm{exp}\left ( -\frac{A-B}{2}\tilde{I} \right ) \right ]\\[10pt]
&=\mathrm{exp}\left ( \frac{A+B}{2}\tilde{I} \right )\begin{pmatrix}
2\: \mathrm{cos} \cfrac{A-B}{2} & 0\\
0 & 2\: \mathrm{cos} \cfrac{A-B}{2} \end{pmatrix}\\[10pt]
&=2\: \mathrm{cos} \frac{A-B}{2}\mathrm{exp} \left( \frac{A+B}{2} \right )\tilde{I}\tilde{E}\end{align*}\]
 要するに三角関数の和と差の公式は指数法則を表現しているだけなのです。
 

見慣れた形に直します

 行列成分を書いて公式 (1), (2)を見慣れた形に直してみましょう。
 
\[\begin{align*}&\begin{pmatrix}\mathrm{cos}A+\mathrm{cos}B & -\mathrm{sin}A-\mathrm{sin}B\\[10pt]
\mathrm{sin}A+\mathrm{sin}B & \mathrm{cos}A+\mathrm{cos}B\end{pmatrix}\\[10pt]
&=2\: \mathrm{cos}\left ( \frac{A-B}{2} \right )\begin{pmatrix}
\mathrm{cos}\: \cfrac{A+B}{2} & -\mathrm{sin}\: \cfrac{A+B}{2}\\[10pt]
\mathrm{sin}\: \cfrac{A+B}{2} & \mathrm{cos}\: \cfrac{A-B}{2}\end{pmatrix}\end{align*}\]
 
\[\begin{align*}&\begin{pmatrix}\mathrm{cos}A-\mathrm{cos}B & -\mathrm{sin}A+\mathrm{sin}B\\[10pt]
\mathrm{sin}A-\mathrm{sin}B & \mathrm{cos}A-\mathrm{cos}B\end{pmatrix}\\[10pt]
&=2\: \mathrm{sin}\left ( \frac{A-B}{2} \right )\begin{pmatrix}
-\mathrm{sin}\: \cfrac{A+B}{2} & -\mathrm{cos}\: \cfrac{A+B}{2}\\[10pt]
\mathrm{cos}\: \cfrac{A+B}{2} & -\mathrm{sin}\: \cfrac{A-B}{2}\end{pmatrix}\end{align*}\]
 ちゃんと高校の教科書に出てくる公式と一致していますね!


 

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