1箇所だけ周囲と様子の異なる波があります



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≫ 挑戦問題 PS-19 が入りました。

fn(x) = cos[πxn exp(-x)]

 三角関数に y = x exp(-x) という減衰関数を入れてみます:

f(x) = cos[πxn exp(-x)]

 n = 1 のグラフを y = x exp(-x) と並べて図示してみます:

 エクセルグラフf=cos(πx^nexpx)

 y = x exp(-x) は x = 1 で最大値 1/e をとりますが、ちょうど同じ場所で f1(x) は最小値 cos(π/e) をとります。念のために微分して確認しておきましょう。

f1(x) = cos(πy)

と表せますから、

f'1(x) = -πy'sin(y)

となって、f'1 = 0 の解の 1 つは y' = 0 の解と同じであることがわかります。

 同じように fn(x) は y = xn exp(-x) と同じ場所で極値をとることになります。
 n = 2, 3, 4 で確認してみましょう。

 エクセル数学グラフf=cos(πx^2expx)

 y = xn exp(-x) が最大値をとる x を α とおきます。
 n が大きくなるほど波の数は多くなります。 fn(α) は極値ですが、この部分だけ他の波より振幅が小さくなっていて特別な点となっています。
 また、 y = xn exp(-x) が減衰関数ですから、全体的な特徴として、波長が少しずつ伸びていきます。

 実はこの関数、 n = 6 を境にして急激に波が密になります。

 エクセルグラフf=cos(πx^6expx)

 隙間が見えないほどですね。しかし x = 6 のあたりにやはり 1 つだけ振幅の小さな波が存在して、またその部分だけ密度が小さくなっていることも特徴です。

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