1 から 10 のうちどれでしょう?(積の最大値で範囲を絞ります)

 学び直し講座「公約数と最大公約数」の演習問題です。
 

1 から 10 のうちどれでしょう?

 a, b, c は 1 ~ 10 のうちの異なる自然数です。 a b は 12 の倍数ですが、36 の倍数ではありません。 a c は 5 の倍数で、 b c は 27 の倍数です。 a, b, c の値を求めてください。(平成 18 年度 公務員地方上級試験問題 1部改)

ヒント

 2 つの数の積の最大値で範囲を絞ってみましょう。

解答

 2 つの数の積の最大数は 9 × 10 = 90 です。
 a c が 5 の倍数であるということは、a と c のどちらかが 5 の倍数であるということです。そこでもし c が 5 の倍数とすると、 b c は 27 と 5 の倍数であるということになります。27 と 5 の最小公倍数は

27 × 5 = 135

ですから、 b c は 135 の倍数となってしまい、これは積が 90 以下という条件に合いません。ですから、

a は 5 の倍数である, b, c は 5 の倍数ではない

ということがわかります。 a b は 12 の倍数です。 90 以下の 12 の倍数を並べてみると、

12, 24, 36, 48, 60, 72, 84

となります。このうち 5 の倍数であるのは 60 だけですから、

a b = 60

となります。a, b は 1 ~ 10 ですから、

a = 10, b = 6

と決まります。 b c は 27 の倍数です。90 以下の 27 の倍数を並べると

27, 54, 81

 このうち 6 の倍数は 54 だけですから、

b c = 54

 b = 6 なので、

c = 9

となります。以上より答えは

a = 10, b = 6, c = 9

となります。

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