x^3+y^3=72の整数解

【NT03】x^3+y^3=72の整数解を見つけます

$x^3+y^3=72$ を満たす整数解を求めてください。
 
【ヒント】このうえなくシンプルな問題ですね。でも上手に絞り込んでいかないと大変なことになります。

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【解答】まずは条件式の左辺を因数分解します：
 \[(x+y)(x^2-xy+y^2)=72\tag{1}\]
ここで
 \[x^2-xy+y^2=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3}{4}y^2\gt 0\]
なので、$x+y$ も正です。左辺を
 \[x+y=m,\quad x^2-xy+y^2=n\tag{2}\]
とおいて書き換え、右辺の $72$ を素因数分解すると
 \[mn=2^3\cdot 3^2\quad (m,\:n\gt 0)\tag{3}\]
となります。しかしこの式から全ての組合せを調べるのは大変なので、もう少し候補を絞り込みたいところです。そこで (2) から $y$ を消去します。
 \[3x^2-3mx+m^2-n=0\tag{4}\]
$x$ の二次方程式を得たので、判別式を計算します。
 \[D(m,\:n)=12n-3m^2\tag{5}\]
実数条件 $D\geq 0$ から
 \[m^2\leq 4n\tag{6}\]
という $m,\:n$ に関する拘束条件が得られました。(3) からこの条件 (6) に合う組合せを $m$ が小さい方から並べると
 \[(m,\ n)=(1,\ 72),　(2,\ 36),　(3,\ 24),　(4,\ 18),　(6,\ 12)\]
となります。あとは順に (5) に入れて確認していくと、判別式が平方数となるのは $(m,\:n)=(6,\ 12)$ のときだけです。これを (4) に代入すると二次方程式
 \[x^2-6x+8=0\]
を得るので、これを解いて $x=2,\:4$ であることがわかります。さらに、(2) より $x+y=6$ なので、
 \[(x,\:y)=(2,\:4),\:(4,\:2)\]
という答えが得られます。