x3 + y3 = 72 の整数解

[問題 NT-03] x3 + y3 = 72 の整数解

 x3 + y3 = 72 を満たす整数解を求めてください。

問題 NT-03 のヒント

 上手に絞り込んでいかないと大変なことになります。

入試数学 伝説の良問100 良い問題で良い解法を学ぶ (ブルーバックス)

問題 NT-03 の解答

 まずは条件式の左辺を因数分解します:

x3 + y3 = (x + y) (x2 - x y + y2) = 72   [1]

 ここで

x2 - x y + y2 = (x - y/2)2 + 3 y2/4 > 0

ですから x + y も正です。

x + y = m, x2 - x y + y2 = n   [2]

とおいて、72 を素因数分解すると

m n = 23・32 (m, n > 0)  [3]

となります。しかしこの式から全ての組合せを調べるのは大変なので、もう少し候補を絞り込みたいところです。そこで [2] から y を消去して x の 2 次方程式を得て判別式を計算します。

3 x2 - 3 m x + m2 - n = 0   [4]
D(m, n) = 12 n - 3 m2   [5]

 実数条件 D ≧ 0 から

m2 ≦ 4 n   [6]

という m, n に関する拘束条件が得られました。
 [3] からこの条件に合う組合せを m が小さい方から並べると

(m, n) = (1, 72), (2, 36), (3, 24), (4, 18), (6, 12)

となります。あとは順に [5] に入れて平方数であるか確認します。

  D(1, 72) = 861, D(2, 36) = 426, D(3, 24) = 279
  D(4, 18) = 204, D(6, 12) = 36

 判別式 D が平方数となるのは (m, n) = (6, 12) のときだけです。
 [4] に (m, n) の値を代入して

x2 - 6 x + 8 = 0  ∴ x = 2, 4

 [2] から x + y = 6 ですから、

(x, y) = (2, 4), (4, 2)

という答えが得られます。 ≫ [問題04] 2 進数に変換 ≫ 数学演習問題

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