自然数と実数をうまく関連づけて極限値を求めます

[問題 CL-09] 自然数と実数をうまく関連づけて極限値を求めます

 1 より大きな実数 $a$ について $a=1+p$ とおきます。 2 項定理

\[(a+b)^n={}_{n}C_0\:a^n+{}_{n}C_1\:a^{n-1}b+ {}_{n}C_2\:a^{n-2}b^2+ \: \cdots \: {}_{n} C_n\:b^n\]を用いて $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x}{a^x}=0$ を証明してください。ただし $a,\:b$ は実数、 $n$ は自然数です。 
 
 

問題 CL-09 のヒント

 自然数 $n$ と実数 $x$ をどのように関連付けるかがポイントになります。

ゼロから学ぶ微分積分 (ゼロから学ぶシリーズ)

問題 CL-09 の解答

 $a^n=(1+p)^n$ を 2 項展開します。
 
\[\begin{align*}a^n&=(1+p)^{n}=\: {}_{n}C_{0}+{}_{n}C_{1}p+\: {}_{n}C_{2}p^2+\: \cdots\\[6pt]
&=1+np+\frac{n(n-1)}{2}p^2+\: \cdots \end{align*}\]
 全ての項は正ですから、
 
\[a^n \geq 1+np+\frac{n(n-1)}{2}p^2\]
という不等号が成り立ちます。この次が少し難しいところで、$x$ に関する不等号を作るために、ある $n$ に対して $n \leq x \lt n+1$ という $x$ をとります。すると $a^x \geq a^n$ が成り立つので
 
\[a^x \geq a^n \geq 1+np+\frac{n(n-1)}{2}p^2\]
となります。逆数をとると不等号の向きが変わって
 
\[\frac{1}{a^x} \leq \frac{1}{1+np+\cfrac{n(n-1)}{2}p^2}\]
となります。$x \lt n+1$ を組合わせると
 
\[0 \lt \frac{x}{a^x} \leq \frac{n+1}{1+np+\cfrac{n(n-1)}{2}p^2}\]
という不等式を得ます。これで「はさみうち」ができます。
 $x\rightarrow \infty$ の極限をとると右辺は
 
\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{n+1}{1+np+\cfrac{n(n-1)}{2}p^2}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1/n+1/n^2}{1/n^2+p/n+\cfrac{1-1/n}{2}p^2}=0\]
となるので(分子分母を $n^2$ で割っています)、「はさみうちの原理」より

\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x}{a^x}=0\]
が示されました。 ≫ [問題10] 無限級数で定義される関数 ≫ 数学演習問題

スポンサーリンク
スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください