よく知られているように cosθ と sinθ の間には
cos2θ + sin2θ = 1
という関係がありますから、媒介変数表示で
x = cos2θ, y = sin2θ
という関数のグラフは x + y = 1 の直線を表します。しかし、
x = (a + cosθ)2, y = (b + sinθ)2
というように三角関数に定数を加えてから 2 乗すると閉曲線となります。a, b を色々と変えて曲線の変化を見ていきましょう。
a = b = 1
直角三角形の角に丸みを与えたようなグラフです。
a = 2, b = 1
どう表現していいのかわかりませんけどね ...... クリームパン?
a = 2, b = 3
縦にぐいと伸びました ...... 卵かな? ちょっと歪んでいるけど。
おまけ
最後に少し変則的な方程式。 y の θ を 2θ に変えて
x = (1 + cosθ)2, y = (1 + sin2θ)2
という関数のグラフを描いてみます。
閉曲線が 2 つの領域に分かれましたね。
x, y の θ を変えるとグラフは様々に変化します。