x = (a + cosθ)2, y = (b + sinθ)2



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≫ 挑戦問題 PS-19 が入りました。

 よく知られているように cosθ と sinθ の間には

cos2θ + sin2θ = 1

という関係がありますから、媒介変数表示で

x = cos2θ, y = sin2θ

という関数のグラフは x + y = 1 の直線を表します。しかし、

x = (a + cosθ)2, y = (b + sinθ)2

というように三角関数に定数を加えてから 2 乗すると閉曲線となります。a, b を色々と変えて曲線の変化を見ていきましょう。
 

a = b = 1

 [Graph]x=[1+cosθ]^2、y=[1+sinθ]^2

 直角三角形の角に丸みを与えたようなグラフです。
 

a = 2, b = 1

 [Graph]x=[2+cosθ]^2、y=[1+sinθ]^2

 どう表現していいのかわかりませんけどね ...... クリームパン?
 

a = 2, b = 3

 [Graph]x=[2+cosθ]^2、y=[3+sinθ]^2

 縦にぐいと伸びました ...... 卵かな? ちょっと歪んでいるけど。
 

おまけ

 最後に少し変則的な方程式。 y の θ を 2θ に変えて

x = (1 + cosθ)2, y = (1 + sin2θ)2

という関数のグラフを描いてみます。

 [Graph]x=[1+cosθ]^2、y=[1+sin2θ]^2

 閉曲線が 2 つの領域に分かれましたね。
 x, y の θ を変えるとグラフは様々に変化します。

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