約数和

【NT08】約数和を求めます

(1) $2$ 桁の整数のうち、約数が $8$ 個あるものを全て求めてください。

(2) (1) で求めた整数の中で最大の数について 約数和 を求めてください。

【ヒント】約数が $8$ 個ある整数をどのような形で表すか … 定石を知らないとかなりの難問です。たとえば $12$ の約数がいくつあるか考えてみます。
 
\[12=2^2\cdot 3^1\]
と素因数分解できるので、その約数の和は
 
\[S(12)=1+2+2^2(1+3)\]
と書くことができて、この式を展開した各項が約数となります。すなわち約数の個数は
 
\[T(12)=3\times 2=6\]
です。一般にある数 $N$ が
 
\[N=p^a q^b r^c\cdots\]
のように素因数分解されるとき、その約数の個数は
 
\[T(N)=(a+1)(b+1)(c+1)\cdots\]
によって求めることができます。
 

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【解答】(1) 約数の個数が $8=1\times 8=2\times 4=2\times 2\times 2$ なので、$p,\ q,\ r$ を互いに異なる素数として、求める 2 桁の整数は
 
\[N=p^7,\ pq^3,\ pqr\]
のいずれかの形になっているはずです。とはいえ最小素数 $p=2$ でも
 
\[p^7=128\]
ですから 3 桁の数になってしまって $p^7$ は明らかに適していません。したがって $pq^3$ あるいは $pqr$ の形を考えればよいことになります。

 $N=pq^3$ のとき、$q=4$ とすると
 
\[4^3=64\]
も $p=2$ のとき $N$ が 3 桁の数になるので、$q\leq 3$ です。すなわち、

\[q=2,\ 3\]
に限定されて、
 
\[\begin{align*}&N=8p\qquad (p=3,\ 5,\ 7,\ 11\, \cdots)\\[6pt]
&N=27p\qquad (p=2,\ 5,\ 7\, \cdots)\end{align*}\]
が求める整数の形になります。

 まず $8p$ 型について、2 桁の数は
 
\[N=24,\ 40,\ 56,\ 88\]
となります。$27p$ 型の 2 桁の数は $54$ だけです。

 $N=pqr$ のとき、
 
\[p,\ q,\ r = (2, 3, 5),\ (2, 3, 7),\ (2, 3, 11),\ (2, 3, 13),\ (2, 5, 7)\]
が条件を満たすので、
 
\[N=30,\ 42,\ 66,\ 78,\ 70\]
です。よって 2 桁の整数のうち約数が 8 個あるものは

\[24,\ 30,\ 40,\ 42,\ 54,\ 56,\ 66,\ 70,\ 78,\ 88\]
の合計 10 個となります。

(2) 最大の数は $88$ なので、その約数の和は

\[S(88)=(1+2+2^2+2^3)(1+11)=180\]
となります。

 

コメント

  1. 数学を愛するもの より:

    整数論 問題NT-08 の(1)の答え
    24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88 の10個と思います。

    →N = (p_1)^(m_1) × (p_2)^(m_2) × ・・・× (p_n)^(m_n) のように素因数分解できるとき、約数は全部で(1+m_1) (1+m_2)・・・(1+m_n) 個ある。

    従って、約数は8個あるから、
    8 = 1×8 = 2×4 = 2×2×2 より、求める自然数をNとすれば、
    (ⅰ) N = (p_1)^7
    (ⅱ) N = (p_1) × (p_2)^3
    ただし、p_1≠ p_2
    (ⅲ) N = (p_1) × (p_2) × (p_3)
    ただし、p_1≠ p_2, p_2≠ p_3, p_3≠ p_1
    の3パターンに分類できる。

    (ⅰ) のとき、
    N = (p_1)^7 > 2^7 =128 より、Nは、2桁の自然数にならないので不適。

    (ⅱ) のとき、
    Nが2桁の自然数となるp_1, p_2 は、p_1, p_2 が素数であることに注意すると、
    (p_1, p_2) =(2,3),(3,2),(5,2),(7,2),(11,2)
    故に、N=54,24,40,56,88

    (ⅲ) のとき、
    Nが2桁の自然数となるp_1, p_2, p_3は、p_1, p_2, p_3 が素数であることに注意し、対称性よりp_1< p_2< p_3とすれば、
    (p_1, p_2, p_3)=(2,3,5),(2,3,7),(2,3,11),(2,3,13),(2,5,7)より、
    N=30, 42, 66, 78, 70

    よって、N=24,30,40,42,54,56,66,70,.78,88

    長文失礼致しました。

    • Blog Cat より:

      全く御指摘の通りです。
      間違いだらけの解答を掲載してしまって申し訳ありません。
      本日中に記事を修正します。
      このように誤りを指摘して頂けると本当に助かります。
      今後ともよろしくお願い致します。