約数の和を求めます

[問題 NT-08] 約数の和を求めます

(1) 2 桁の整数のうち、約数が 8 個あるものを全て求めてください。

(2) (1) で求めた整数の中で最大の数について約数の和を求めてください。

問題 NT-08 のヒント

 約数が 8 個ある整数をどのような形で表すか ...... 定石を知らないとかなりの難問です。たとえば 12 の約数がいくつあるか考えてみます。

12 = 22・3

と素因数分解できますので、その約数の和 S(12) は

S(12) = (1 + 2 + 22)(1 + 3)

と書くことができ、この式を展開した各項が約数となります。すなわち約数の個数は

T(12) = 3 × 2 = 6

です。一般にある数 N が

N = pa qb rc ...

というように分解されるとき、その約数の個数は

T(N) = (a + 1)(b + 1)(c + 1) ...

という計算によって求めることができます。

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問題 NT-08 の解答

(1) 約数の個数が 8 = 1 × 8 = 2 × 4 = 2 × 2 × 2 なので、p, q, r を互いに異なる素数として、求める 2 桁の整数は

N = p7, p q3, p q r

のいずれかの形になっているはずです。とはいえ最小素数 p = 2 でも

p7 = 128

ですから 3 桁の数になってしまって p7 は明らかに適していません。したがって p q3 あるいは p q r の形を考えればよいことになります。

 N = p q3 のとき、q = 4 とすると

43 = 64

も p = 2 のとき 3 桁の数になるので、q ≦ 3 です。すなわち、

q = 2, 3

に限定されて、

     N = 8 p   (p = 3, 5, 7, 11, ...)
     N = 27 p  (p = 2, 5, 7, ...)

が求める整数の形になります。

 まず 8 p 型について、2 桁の数は

N = 24, 40, 56, 88

となります。27 p 型の 2 桁の数は 54 だけです。

 N = p q r のとき、

p, q, r = (2, 3, 5), (2, 3, 7), (2, 3, 11), (2, 3, 13), (2, 5, 7)

が条件を満たすので、

N = 30, 42, 66, 78, 70

です。よって 2 桁の整数のうち約数が 8 個あるものは

24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88

の合計 10 個となります。

(2) 最大の数は 88 ですから、その約数の和は

S(88) = (1 + 2 + 22 + 23)(1 + 11) = 180

となります。 ≫ [問題09] 条件に合う整数の個数を求めます ≫ 数学演習問題

コメント

  1. 数学を愛するもの より:

    整数論 問題NT-08 の(1)の答え
    24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88 の10個と思います。

    →N = (p_1)^(m_1) × (p_2)^(m_2) × ・・・× (p_n)^(m_n) のように素因数分解できるとき、約数は全部で(1+m_1) (1+m_2)・・・(1+m_n) 個ある。

    従って、約数は8個あるから、
    8 = 1×8 = 2×4 = 2×2×2 より、求める自然数をNとすれば、
    (ⅰ) N = (p_1)^7
    (ⅱ) N = (p_1) × (p_2)^3
    ただし、p_1≠ p_2
    (ⅲ) N = (p_1) × (p_2) × (p_3)
    ただし、p_1≠ p_2, p_2≠ p_3, p_3≠ p_1
    の3パターンに分類できる。

    (ⅰ) のとき、
    N = (p_1)^7 > 2^7 =128 より、Nは、2桁の自然数にならないので不適。

    (ⅱ) のとき、
    Nが2桁の自然数となるp_1, p_2 は、p_1, p_2 が素数であることに注意すると、
    (p_1, p_2) =(2,3),(3,2),(5,2),(7,2),(11,2)
    故に、N=54,24,40,56,88

    (ⅲ) のとき、
    Nが2桁の自然数となるp_1, p_2, p_3は、p_1, p_2, p_3 が素数であることに注意し、対称性よりp_1< p_2< p_3とすれば、
    (p_1, p_2, p_3)=(2,3,5),(2,3,7),(2,3,11),(2,3,13),(2,5,7)より、
    N=30, 42, 66, 78, 70

    よって、N=24,30,40,42,54,56,66,70,.78,88

    長文失礼致しました。

    • Blog Cat より:

      全く御指摘の通りです。
      間違いだらけの解答を掲載してしまって申し訳ありません。
      本日中に記事を修正します。
      このように誤りを指摘して頂けると本当に助かります。
      今後ともよろしくお願い致します。

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