ゆらぎながら振動する数列



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≫ 挑戦問題 PS-19 が入りました。

不規則性を含んだ振動数列

 3項間の漸化式
 
\[f(n+2)=\cos [af(n)]+\sin[bf(n+1)]\]
で定義される数列を考えます。初期値 $f(1),\:f(2)$ および定数 $a,\:b$ を4つのパラメータとして変化させながら、いくつかのグラフを描いてみます。

減衰振動

 まずは $f(1)=0,\:f(2)=1,$ $a=1.0,\:b=1.0$ としてみると ......

 Excel余弦正弦減衰数列グラフ

 それなりに規則性のありそうな減衰振動曲線の上に乗っています。ただし、その減少の仕方は完全に規則的というわけではなく、微妙なゆらぎがあって、個々の点(数列の各項)の位置を正確に予測することは難しくなっています。

ほぼ一定周期です

 この数列は初期値に対して非常に鋭敏に反応します。
 $a$ の値を 0.1 だけ増やしてみると ......

 VBA余弦正弦数列グラフ

 増加するとも減少するともいえないような数列です。
 やはりゆらぎながら、ほぼ一定周期の振動曲線の上を動きます。

振幅が大きくなります

 最後にパラメータを $f(1)=1,\:f(2)=1,$ $a=1.2,\:b=1.0$ としてみましょう。

 Excel余弦正弦増加数列グラフ

 今度は一転して振幅を増大させていく数列です(初期値はそれほど大きく変えていません)。これもまた不規則性を含んでいて、局所的には振幅が減少するような部分さえあります。いずれにしても、このような複雑な漸化式は実際に数値計算してみるまで、その振る舞いを予測することはできないのです。

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